Límites de polinomios

Un polinomio es una suma finita de números multiplicados por potencias x⁰, x¹, x², x³… Los exponentes son enteros no negativos. El coeficiente de una potencia puede ser positivo, negativo o cero. No hay divisiones por x ni raíces de x.

El grado es el mayor exponente que queda con coeficiente no nulo después de simplificar. Un polinomio constante no nulo tiene grado cero. El polinomio que vale cero siempre tiene grado sin definir en la convención de esta página. Todos están definidos para cualquier x real.

Multiplicar por coeficientes y sumar un número finito de términos conserva esos límites. Por eso lim P(x) cuando x → a es P(a): los polinomios son continuos.

Los dos lados llegan al mismo valor. Obtener cero es perfectamente válido: señala una raíz del polinomio. La forma indeterminada 0/0 es una situación de cocientes, no el nombre de cualquier cálculo que produzca un cero.

En una potencia, los paréntesis indican qué cantidad se multiplica por sí misma. (−2)²=4, pero −2²=−4 porque el menos exterior se aplica después de la potencia. Con exponentes impares una base negativa conserva signo negativo.

Calculamos potencias, productos y sumas en ese orden. Horner es otra organización exacta de la misma cuenta: por ejemplo, 2x³−3x+1=((2x)x−3)x+1. Multiplica y añade coeficientes sucesivamente, sin descartar términos.

x → +∞ significa que la entrada llega a ser mayor que cualquier cota elegida. P(x) → +∞ significa que sus salidas terminan superando cualquier altura M. Si P(x) → −∞, terminan por debajo de −M para cualquier M positivo.

Un número concreto, por grande que sea, sigue siendo finito. Una tabla puede ayudar a imaginar la tendencia, pero necesitamos un argumento para todas las entradas suficientemente lejanas. Sumar términos que crecen en sentidos opuestos tampoco se resuelve escribiendo ∞−∞ como si fuera una resta numérica.

Cuando |x| crece sin cota, las fracciones del paréntesis tienden a cero y el paréntesis tiende a tres.

Esto expresa aproximación relativa, no igualdad: no borramos los otros términos para evaluar en una entrada concreta. Como el paréntesis acaba siendo positivo y está separado de cero, multiplicarlo por x² hace crecer la salida sin cota.

Para un polinomio de grado positivo ya simplificado, a la derecha xⁿ es positivo. A la izquierda es positivo si n es par y negativo si n es impar. Multiplicamos ese signo por el del coeficiente principal.

Si el grado es par, los dos extremos tienen el mismo signo: positivo con coeficiente principal positivo, negativo con coeficiente negativo. Si es impar, son opuestos: con coeficiente positivo baja a la izquierda y sube a la derecha; con coeficiente negativo sucede al revés. Las constantes se estudian aparte: permanecen constantes.

Dos términos de grado alto pueden cancelarse exactamente. El término principal es el de mayor grado que queda después, no el primero escrito ni el exponente más grande que apareció antes de reunir términos.

Si un coeficiente depende de un parámetro, preguntamos para qué valores se anula. En cada caso buscamos el siguiente término no nulo. Un cambio de parámetro puede cambiar tanto el grado como los signos de los extremos.

Una composición de polinomios vuelve a ser polinomio. En un límite finito podemos evaluar desde dentro hacia fuera. En un cociente de polinomios, en cambio, necesitamos además que el denominador no se anule para usar sustitución directa.

Si el denominador se anula, estudiamos la expresión cerca de esa entrada. Una cancelación puede conservar el límite sin recuperar el valor excluido. Para revisar un resultado finito usamos otra organización exacta; para infinito, simplificación, grado, signo y control del término restante.