Una EDP relaciona los cambios de una función en varias direcciones. Antes de resolverla hay que leer qué derivadas aparecen, cómo se combinan y qué información llega desde el borde o desde el instante inicial. Compararemos calor, ondas y equilibrio con cuentas pequeñas; la etiqueta del tipo será una conclusión, no una palabra que memorizar.
Si necesitas repasar:
1. Primero leemos incógnita, variables y orden
En u(x,t), la incógnita es toda la función u. uₓ mide el cambio al mover x manteniendo t fijo; uₜ hace lo contrario. El orden es el mayor número total de derivaciones en un término: uₓₜ es de segundo orden.
La ecuación es lineal si u y todas sus derivadas aparecen en una combinación lineal con coeficientes que solo dependen de las variables independientes. Un término conocido en el otro lado no destruye la linealidad; convierte la ecuación en no homogénea.
Dos variables no significa segundo orden
Lee uₜ+3uₓ=cos x.
Incógnita
u depende de x y de t.
Derivadas
Solo se deriva una vez en cada término.
Productos
No se multiplican u ni sus derivadas entre sí.
EDP lineal de primer orden, no homogénea.
El 3 es un coeficiente y cos x es un dato; ninguno depende de u.
Una derivada temporal y dos espaciales
Lee uₜ−2uₓₓ=0 y compárala con uₜ+u uₓ=0.
Calor
El término uₓₓ eleva el orden total a dos; u aparece linealmente.
Transporte no lineal
u uₓ multiplica la incógnita por una derivada, aunque ambas derivadas sean de primer orden.
Separar preguntas
Orden y linealidad son propiedades distintas.
La primera es lineal de segundo orden; la segunda no lineal de primer orden.
Contamos derivaciones para el orden; examinamos productos y coeficientes para la linealidad.
2. En una ecuación no lineal importa dónde aparece la no linealidad
Semilineal: las derivadas de mayor orden aparecen linealmente y sus coeficientes dependen solo de las variables independientes; puede haber no linealidad en órdenes menores. Cuasilineal: siguen apareciendo linealmente las derivadas máximas, pero sus coeficientes pueden depender de u y de derivadas inferiores.
Totalmente no lineal: la dependencia respecto a las derivadas de mayor orden ya no es lineal. Estas palabras requieren identificar antes el orden. En una ecuación escalar lineal de segundo orden con dos variables, la clasificación elíptica, hiperbólica o parabólica se obtiene de la parte principal; no se aplica ciegamente a cualquier ecuación.
Mismo orden, dos posiciones para u²
Compara uₜ−uₓₓ=u³ y uₜ−(1+u²)uₓₓ=0.
Máximo orden
En las dos, la derivada de mayor orden es uₓₓ.
Primer caso
Su coeficiente es −1; la potencia u³ está en orden cero.
Segundo caso
El coeficiente de uₓₓ depende de la incógnita.
La primera es semilineal y la segunda cuasilineal.
Una potencia de u no basta para distinguirlas: hay que mirar a qué término afecta.
Productos entre derivadas máximas
Clasifica la no linealidad de uₓₓuᵧᵧ−uₓᵧ²=1.
Orden
Todas las derivadas indicadas son de segundo orden.
Dependencia
Dos se multiplican y otra se eleva al cuadrado.
Conclusión
No hay una combinación lineal de esas derivadas máximas.
Es de segundo orden y totalmente no lineal.
Es un ejemplo de ecuación de Monge–Ampère; su clasificación requiere más información que tres coeficientes fijos A,B,C.
3. Extraemos la parte principal sin perder el factor dos
Escribimos los términos de segundo orden como A uₓₓ+2B uₓᵧ+C uᵧᵧ. Su matriz simétrica tiene primera fila (A,B) y segunda fila (B,C). Los términos con u o primeras derivadas no entran en esta matriz.
El factor 2 aparece porque las dos entradas simétricas aportan el término mixto. Con un cambio regular de coordenadas, la matriz cambia por congruencia: se conservan los números de signos positivos, negativos y ceros. Si el cambio no es lineal también aparecen términos de orden menor.
El coeficiente mixto cuatro se reparte
Parte principal uₓₓ+4uₓᵧ+uᵧᵧ.
Identificar
A=1 y C=1.Dividir el mixto
2B=4, por tanto B=2.Matriz
Sus filas son (1,2) y (2,1); los autovalores son 3 y −1.
Una dirección tiene signo positivo y otra negativo.
Si se pusiera B=4, se estaría clasificando otra ecuación.
Un cuadrado de una dirección
Parte principal uₓₓ+2uₓᵧ+uᵧᵧ.
Coeficientes
A=B=C=1.Factorizar
Se reconoce (∂ₓ+∂ᵧ)²u.
Direcciones
La matriz tiene autovalores 2 y 0: queda una dirección de segundo orden sin controlar.
Matriz de rango uno, con una dirección nula.
Un término de primer orden añadido puede cambiar mucho el problema, aunque no cambie esta matriz.
4. El discriminante resume los signos, punto por punto
D<0 da tipo elíptico: los dos autovalores son no nulos y del mismo signo.
D=0 con matriz no nula da rango uno, llamado parabólico en esta clasificación principal.
Si A=B=C=0, allí desaparece por completo la parte de segundo orden: no basta decir «parabólica». Cuando los coeficientes dependen del punto, también puede cambiar el tipo. Multiplicar toda la ecuación por un número no nulo no cambia esta clasificación.
Una ecuación cambia al cruzar una línea
Clasifica uᵧᵧ+xuₓₓ=0.
Extraer
A=x,B=0,C=1; D=−x.A la derecha
x>0 implica D<0: elíptica.A la izquierda y sobre el eje
x<0 da hiperbólica.En x=0 queda uᵧᵧ: rango uno.
El tipo depende de la región, y degenera en x=0.
La matriz no es nula sobre el eje porque C sigue siendo 1.
Tres cuentas, tres signos
Compara uₓₓ+4uᵧᵧ, uₜₜ−9uₓₓ y uₜ−2uₓₓ.
Equilibrio
A=1,B=0,C=4: D=−4.Ondas, variables (t,x)
A=1,B=0,C=−9: D=9.Calor, variables (t,x)
A=0,B=0,C=−2: D=0 y matriz de rango uno.
Elíptica, hiperbólica y parabólica, respectivamente.
En calor, el término uₜ no pertenece a la matriz de segundo orden, pero es esencial para la evolución.
5. La forma canónica explica por qué los modelos se comportan distinto
Laplace uₓₓ+uᵧᵧ=0 representa un equilibrio: no hay una variable temporal privilegiada. En ondas uₜₜ−c²uₓₓ=0, c>0, las combinaciones x−ct y x+ct describen dos direcciones de propagación. El calor uₜ−κuₓₓ=0, κ>0, relaciona cambio temporal con curvatura espacial.
Por eso F(ξ)+G(η) resuelve la ecuación homogénea. Para calor, una oscilación espacial se amortigua: el signo y el término de primer orden importan. D=0 por sí solo no garantiza todas las propiedades del calor.
Verificar una onda antes de memorizarla
u(x,t)=cos(x−3t).
Derivar dos veces en t
uₜₜ=−9cos(x−3t).Derivar dos veces en x
uₓₓ=−cos(x−3t).Restar
uₜₜ−9uₓₓ=−9cos+9cos=0.
Es una onda que viaja hacia la derecha con c=3.
Una cresta conserva x−3t constante; no está siendo amortiguada.
Verificar una oscilación que se enfría
u(x,t)=e^(−2t)sen x.
Tiempo
uₜ=−2e^(−2t)sen x.Espacio
uₓₓ=−e^(−2t)sen x.Sustituir
uₜ−2uₓₓ=0; la amplitud e^(−2t) disminuye.
Resuelve calor con κ=2.
Se reduce la altura del perfil, en lugar de trasladarlo como una onda.
6. En el borde podemos fijar valor, pendiente normal o una combinación
Dirichlet fija u en la frontera. Neumann fija ∂ₙu, la derivada hacia fuera. Robin combina αu+β∂ₙu. El flujo difusivo hacia fuera es −κ∂ₙu: dato de derivada normal y dato de flujo tienen un signo distinto cuando κ>0.
Para Δu=f con ∂ₙu=g, integrar y usar el teorema de la divergencia obliga a ∫Ωf=∫∂Ωg. En un dominio conectado, dos soluciones regulares de ese mismo problema de Neumann solo pueden diferir en una constante.
La recta tiene normales de signos opuestos
u(x)=x+C en [0,2].
Derivada usual
u′=1 y u″=0.Extremos
La derivada normal izquierda es −1 y la derecha +1.
Balance
La integral de u″ es 0; la suma de ambas derivadas normales también es 0.
Datos Neumann (−1,+1), con C libre.
Pedir en cambio (+1,+1) con u″=0 exigiría 0=2: no existe solución.
Leer el signo del calor que sale
κ=3 y ∂ₙu=−2 en un punto del borde.
Dato
La temperatura disminuye al salir, porque la derivada normal es negativa.
Ley del flujo
Flujo exterior=−κ∂ₙu.Calcular
−3·(−2)=6.
El flujo exterior vale +6 en las unidades del modelo.
El signo positivo indica salida; no debe copiarse el −2 de la derivada normal como si fuera flujo.
7. Las condiciones iniciales dependen del orden temporal y deben encajar
En calor, normalmente damos u(x,0)=f(x) y condiciones espaciales para t>0. En ondas, la segunda derivada temporal requiere dos perfiles: posición inicial f y velocidad inicial h. Esto describe los modelos regulares habituales; no es un teorema de existencia para cualquier dominio y dato.
Para una solución continua hasta las esquinas, el perfil inicial debe coincidir con el dato de Dirichlet en t=0. Si exigimos derivadas temporales continuas, también deben coincidir las derivadas temporales de esos datos. Una formulación débil puede admitir datos menos regulares y otra interpretación del instante inicial.
Un perfil que encaja con extremos fríos
Calor en [0,2], u(0,t)=u(2,t)=0 y f(x)=sen(πx/2).
Esquina izquierda
f(0)=0.Esquina derecha
f(2)=senπ=0.Solución del modo
u=e^(−κπ²t/4)sen(πx/2) cumple los dos bordes y el dato inicial.
Las esquinas son compatibles.
Si f fuera constantemente 1, no habría continuidad simultánea con extremos cero en las esquinas.
En ondas también hay que revisar la velocidad
Extremos fijos: u(0,t)=u(2,t)=0; posición inicial cero y h(x)=1.
Posición
El perfil f=0 encaja con los dos extremos.
Derivar el borde
Si uₜ es continua hasta las esquinas, uₜ(0,0)=uₜ(2,0)=0.Comparar
h(0)=h(2)=1 contradice esos valores.
No hay una solución con esa regularidad en las esquinas.
La primera comprobación no bastaba: el modelo pide dos datos temporales.
8. No se eligen los datos de entrada y salida de forma arbitraria
En una ecuación de transporte, seguimos las curvas por las que se mueve la información. Hay que dar el valor donde una curva entra en el dominio, no volver a imponer libremente el valor donde sale. Una curva inicial no característica corta transversalmente las características y permite etiquetarlas localmente.
En un equilibrio elíptico se prescriben habitualmente datos sobre la frontera completa de un dominio acotado. Esa diferencia explica por qué no tratamos Laplace como una evolución temporal con posición y velocidad inicial. Los problemas de Cauchy elípticos pueden ser muy inestables.
Una cinta que avanza hacia la derecha
uₜ+2uₓ=0 en 0<x<4.
Dirección
Las marcas siguen x=x₀+2t.Entrada
La información entra por x=0: allí podemos dar g(t).
Salida
En x=4 el valor se deduce del perfil inicial o de g.
El borde derecho es de salida.
Imponer allí otro valor arbitrario puede contradecir el que ya trae la característica.
Un dato sobre la propia trayectoria no alcanza
Da u=7 sobre x=2t para uₜ+2uₓ=0.
Reconocer la curva
Es la característica cuya etiqueta inicial es x₀=0.Información disponible
Se conoce una sola marca durante todo su recorrido.
Marcas restantes
Cualquier perfil f con f(0)=7 puede generar los demás valores.
No determina una solución única en una región abierta.
Una línea inicial t=0 sí corta todas las rectas y permite dar un perfil completo.
9. Bien planteado significa existir, ser único y depender establemente de los datos
Hay que fijar dominio, condiciones, clase de soluciones y normas. Una solución clásica tiene las derivadas exigidas y cumple la ecuación punto a punto. Una solución débil traslada derivadas a funciones de prueba mediante integración; requiere especificar su espacio y cómo se entienden los datos.
Existencia y unicidad no bastan para una buena reconstrucción numérica. La dependencia continua exige que datos próximos produzcan soluciones próximas en las normas elegidas. La ecuación de calor hacia atrás ilustra cómo se puede perder esa estabilidad.
El ruido pequeño puede ocultar una oscilación grande
Calor uₜ=uₓₓ en [0,π], extremos cero; reconstruye desde t=1.
Solución exacta
uₙ(x,t)=e^(−n²t)sen(nx).Dato observado
En t=1 su norma L² es e^(−n²)√(π/2), que tiende a cero.Reconstrucción
En t=0 la norma es √(π/2), que no tiende a cero.
Reconstruir hacia atrás no es continuo en estas normas L².
Cada modo es una solución suave y única dentro de esta familia: el problema demostrado es la estabilidad inversa.
Un frente trasladado cambia de clase de solución
u(x,t)=1 si x>2t y 0 si x<2t.
Fuera del frente
La función es constante en cada lado y cumple uₜ+2uₓ=0 allí.
Sobre el frente
No hay derivadas clásicas porque existe un salto.
Formulación débil
El salto se traslada con velocidad 2; sus contribuciones distribucionales se cancelan en uₜ+2uₓ.
Es solución débil de transporte, no una solución clásica global.
El valor asignado exactamente sobre la línea no cambia la función como elemento de Lᵖ ni su identidad débil.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Laplace
Clasifica uₓₓ+uᵧᵧ=0.
Leer la incógnita
u depende de x y de y. La derivada máxima es de segundo orden y aparece linealmente.
Extraer coeficientes
En A uₓₓ+2B uₓᵧ+C uᵧᵧ tenemos A=1, B=0, C=1.Escribir la matriz
La matriz principal es la identidad de dos filas: (1,0) y (0,1).
Calcular
D=B²−AC=0−1=−1.Clasificar
D<0: la ecuación es elíptica; los dos autovalores tienen el mismo signo.
Separar lo que falta
La clasificación no especifica todavía dominio ni condiciones de borde, y por tanto no fija una solución.
Elíptica.
Los dos autovalores de la parte principal son positivos. El modelo no distingue una variable temporal para evolucionar como en calor u ondas.
EJEMPLO RESUELTO 2
Ondas
Clasifica uₜₜ−c²uₓₓ=0, c>0.
Ordenar variables
Tomamos (t,x), con u como incógnita y c>0 como constante conocida.
Coeficientes
A=1 para uₜₜ, B=0 y C=−c² para uₓₓ.Discriminante
D=0−1·(−c²)=c².Usar la hipótesis
c>0 garantiza D>0.El caso c=0 no está incluido.Conclusión
Es hiperbólica: la matriz tiene signos opuestos.
Interpretar
Las direcciones características son x−ct constante y x+ct constante. Para una evolución usual se dan posición y velocidad iniciales.
Hiperbólica.
La matriz diag(1,−c²) tiene un autovalor positivo y otro negativo. Si c fuera cero, cambiaría la clasificación principal y la interpretación de propagación.
Los símbolos que hemos usado
- u(x,y) o u(x,t)
- Función desconocida de variables espaciales o de espacio y tiempo.
- u_x,u_xy
- Derivadas parciales primera en x y mixta en x,y.
- A,B,C
- Coeficientes de la parte principal Au_xx+2Bu_xy+Cu_yy.
- D=B²−AC
- Discriminante que clasifica la parte principal de segundo orden en dos variables.
- ∂u/∂n
- Derivada en la dirección de la normal exterior de la frontera.
- Bien planteado
- Problema con existencia, unicidad y dependencia continua respecto de los datos en las normas especificadas.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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