Contrastes de hipótesis y potencia

El parámetro describe la población: aquí μ es el llenado medio. H₀ reúne los valores que se ponen a prueba; H₁ contiene las alternativas de interés. Para detectar falta de llenado usaríamos H₀: μ≥500 frente a H₁: μ<500.

Una hipótesis simple especifica una distribución completa dentro del modelo. Si la varianza también es desconocida, fijar solo μ no especifica todo. Una hipótesis compuesta permite varios valores o distribuciones. La dirección, el estadístico y la regla se fijan antes de ver el resultado: elegir después altera el procedimiento.

Una regla decide rechazar o no rechazar para cada muestra posible. El error de tipo I es rechazar cuando el parámetro pertenece a H₀. Un contraste de nivel α cumple Pθ(rechazar)≤α para todo θ nulo; su tamaño es el supremo de esas probabilidades. El nivel es una cota, no obliga a que toda nula dé exactamente α.

En una alternativa concreta θ, β(θ)=Pθ(no rechazar) es el error de tipo II y π(θ)=1−β(θ) es la potencia. No hay una única potencia sin especificar qué alternativa se considera. En el dibujo, la región de rechazo es la misma; cambia la distribución con la que medimos su área.

Con X₁,…, Xₙ normales iid de desviación σ>0 conocida, bajo μ=μ₀ tenemos Z=(X̄−μ₀)/(σ/√n) normal estándar.

Los cuantiles indican qué probabilidad dejamos en las colas.

Si σ es desconocida y el modelo es normal, sustituimos por S y usamos T con n−1 grados de libertad, no una normal exacta. Fuera de la normalidad, una aproximación por TCL exige sus condiciones; escribir Z no convierte automáticamente cualquier estadístico en normal.

Para una nula simple y una medida de extremidad fijada, el p-valor es la probabilidad bajo H₀ de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado. En el contraste normal superior p=1−Φ(z observado); en el bilateral simétrico p=2[1−Φ(|z observado|)]. Cambiar la cola cambia la pregunta.

Un p-valor válido satisface Pθ(p≤a)≤a para toda nula y todo a entre cero y uno. Esta propiedad permite rechazar si p≤α controlando el nivel. En modelos continuos simples puede ser uniforme; en modelos discretos puede dar decisiones conservadoras. No todos los valores intermedios tienen que ser alcanzables.

El cálculo de p trabaja dentro del modelo nulo. No reparte probabilidades entre H₀ y H₁. Para calcular P(H₀|datos) hacen falta probabilidades previas y modelos alternativos con los que comparar la verosimilitud. Una cola bajo H₀ y una probabilidad posterior son objetos distintos.

Veámoslo con una observación Z: bajo H₀ es N(0,1), bajo H₁ es N(2,1), y observamos z=2. La razón de densidades f₁(2)/f₀(2)=e² multiplica las odds previas. Las mismas densidades y el mismo p-valor pueden producir posteriores muy diferentes al cambiar las previas.

En el contraste normal superior conocido, si μ=μ₀+δ, entonces Z tiene media δ√n/σ y varianza uno. La potencia es 1−Φ(z₁₋α−δ√n/σ). Para el mismo δ positivo, aumentar n o disminuir σ desplaza más la distribución alternativa a la derecha del corte.

Para planificar una potencia 1−β frente a un efecto positivo δ, se despeja n≥[(z₁₋α+z₁₋β)σ/δ]² y se redondea hacia arriba. Es una planificación para ese efecto, modelo y diseño. No sustituye conocer pérdidas de seguimiento, variabilidad o restricciones reales del muestreo.

Si H₀ y H₁ son simples con densidades o masas f₀ y f₁, la razón L=f₁/f₀ compara cuánto favorece una muestra a H₁ frente a H₀. La regla más potente a tamaño fijado rechaza para razones grandes, con posible aleatorización en la frontera para alcanzar exactamente el tamaño.

La idea de la demostración es comparar una regla φ* de ese tipo con otra φ del mismo nivel.

Al integrar obtenemos potencia(φ*)−potencia(φ)≥c[tamaño(φ*)−tamaño(φ)]≥0 cuando φ* alcanza α y φ tiene tamaño a lo sumo α. El resultado se refiere a esa alternativa simple: no promete una regla universal óptima para cualquier hipótesis compuesta.

Rechazar H₀ señala incompatibilidad con el modelo nulo mediante una regla calibrada; no mide por sí solo la importancia del efecto. Conviene informar estimación, unidades e intervalo. Una muestra enorme puede detectar un efecto diminuto; una muestra pequeña puede no detectar uno importante.

No rechazar tampoco demuestra H₀. Para demostrar equivalencia dentro de una tolerancia Δ se plantea otra pregunta: H₀ es δ≤−Δ o δ≥Δ y H₁ es −Δ<δ<Δ. Dos contrastes unilaterales de nivel α deben rechazar sus respectivas partes nulas. En el modelo normal conocido, equivale a que el intervalo bilateral 1−2α quede estrictamente dentro de (−Δ, Δ), con decisiones de frontera coherentes.

Sea V el número de rechazos falsos entre m nulas verdaderas. Por linealidad E(V)=ΣP(rechazar cada nula), sin requerir independencia. Si todos los contrastes son de nivel α, E(V)≤mα; la igualdad exige que las probabilidades reales sean α. La probabilidad de al menos un falso positivo es otro objeto.

Si los m rechazos son independientes y cada uno tiene probabilidad real α, P(V≥1)=1−(1−α)ᵐ. Bonferroni controla esta probabilidad sin independencia: usar nivel α/m en cada prueba da, por la cota de la unión, P(V≥1)≤Σα/m=α. Hay métodos menos conservadores, pero cualquier elección debe corresponder a la familia de preguntas realmente investigada.

Si se toma una nueva muestra cada vez y se repite una prueba hasta obtener significación, el procedimiento completo ya no es una sola prueba al nivel anunciado. Hay que calibrar las oportunidades de decisión y el criterio de parada. Los análisis sucesivos con datos compartidos tampoco son independientes por defecto.

Una construcción sencilla fija de antemano niveles αₜ cuya suma no supera α. Si la prueba del instante t es válida bajo cada nula, la unión de todos los falsos rechazos tiene probabilidad a lo sumo Σαₜ≤α. Es conservadora y requiere que la validez se mantenga bajo el diseño utilizado; una selección adaptativa no justificada puede romperla.