Dispersión, cuartiles y diagramas de caja

Los datos 4, 4, 4 suman doce, igual que 1, 4, 7. Ambos conjuntos tienen media cuatro. En el primero todos coinciden; en el segundo hay valores tres unidades por debajo y por encima de la media. Esa separación es lo que queremos describir con medidas de dispersión.

No confundimos dispersión con tamaño de la media. Sumar diez a todos los datos desplaza el conjunto, pero conserva las distancias entre ellos. Multiplicar todos por dos, en cambio, duplica las distancias.

Ordenamos o localizamos los extremos. El rango es máximo menos mínimo.

Es una distancia y no puede ser negativa. Conserva la unidad de los datos.

El rango solo usa dos valores y no dice cómo se distribuyen los interiores. Tampoco es el número de enteros que caben entre los extremos: entre dos y nueve hay ocho enteros si contamos ambos, pero la distancia sigue siendo siete.

Queremos utilizar todos los datos. Primero hallamos su media. A cada dato le restamos esa media; eso da una desviación con signo. Sumarlas directamente no mide dispersión porque se compensan. En 1, 3, 5 la media es tres y las desviaciones son −2, 0, 2: suman cero aunque los datos sean distintos.

Elevamos cada desviación al cuadrado para evitar la cancelación: cuatro, cero y cuatro. Sumamos y dividimos entre el número de datos. La varianza descriptiva de este conjunto es 8/3.

El cuadrado afecta a toda la resta entre paréntesis.

Aquí describimos el conjunto observado con divisor n. Si usamos una muestra para estimar de forma insesgada una varianza poblacional bajo el modelo habitual de observaciones independientes con la misma distribución, se usa s² con divisor n − 1, para n > 1. Es otro objetivo; no cambiamos el divisor sin decir qué calculamos.

Si los datos están en metros, las desviaciones también. Al elevar al cuadrado aparecen metros cuadrados: esa es la unidad de la varianza. La desviación típica, también llamada estándar, toma la raíz cuadrada no negativa: σ = √σ². Así vuelve a expresarse en metros.

No es el promedio de las distancias absolutas; la operación de elevar al cuadrado y después tomar una raíz da una medida distinta. Una desviación típica cero significa que todos los datos del conjunto no vacío coinciden. No interpretamos automáticamente una banda de una desviación como un porcentaje fijo sin más hipótesis.

Ordenamos los datos. Q₂ es la mediana. Para este tema calculamos Q₁ como mediana de la mitad inferior y Q₃ como mediana de la mitad superior. Si hay una cantidad impar, excluimos la mediana global antes de formar las dos mitades.

Por ejemplo, en 1, 2, 3, 4, 5 la mediana global es tres.

Con ocho datos separamos cuatro y cuatro. Otros libros y programas interpolan de otra manera y pueden dar valores distintos; por eso indicamos el procedimiento.

No identificamos sin más un cuartil con el valor que deja exactamente un veinticinco por ciento estrictamente debajo: con conjuntos pequeños y repeticiones esa frase necesita matices. Los cuartiles resumen posiciones mediante la convención elegida.

El rango intercuartílico, RIQ, resta Q₃ − Q₁. Describe la amplitud entre las posiciones cuartílicas de la parte central. Una caja se dibuja desde Q₁ hasta Q₃ y una línea dentro marca Q₂. Todas esas posiciones usan la misma escala numérica.

En un resumen simple de cinco números, los bigotes llegan al mínimo y al máximo. La caja de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 va de 2,5 a 6,5, con mediana 4,5. Su anchura cuatro es el RIQ. Otra versión usa cercas para señalar posibles atípicos: la distinguiremos en el siguiente paso.

Una convención habitual sitúa cercas en Q₁ − 1,5 · RIQ y Q₃ + 1,5 · RIQ. Los datos estrictamente fuera se marcan como posibles atípicos. En esta versión los bigotes terminan en los datos más extremos que siguen dentro de las cercas, no en las cercas mismas.

El RIQ es cuatro y las cercas son −3,5 y 12,5. El quince se representa aparte; el bigote superior termina en siete. Se conserva el dato y se investiga su contexto.

Comparar cajas ayuda a ver centros y amplitudes, pero una caja sola no demuestra normalidad, simetría de todos los datos ni tamaños de grupo iguales. Diferentes conjuntos pueden producir exactamente el mismo resumen.

Antes de calcular indicamos si describimos el conjunto observado o estimamos una varianza de población. Conservamos unidades y evitamos redondear la media demasiado pronto. Para cuartiles ordenamos y declaramos cómo partimos la lista; para una caja decimos qué regla siguen sus bigotes.

Comprobaciones útiles: rango, varianza y RIQ no son negativos; Q₁ ≤ Q₂ ≤ Q₃; la raíz de la varianza coincide con la desviación típica calculada. Un conjunto vacío no admite estas medidas. Con un solo dato la dispersión descriptiva es cero; no aplicamos un estimador con divisor n − 1.