Media, mediana y moda

Imagina que varias personas han leído 1, 2 y 6 libros. Para repartir por igual los nueve libros contados, tocarían tres por persona: esa es la media. Al ordenar y buscar la posición central aparece dos: esa es la mediana. Ningún valor aparece más veces que los demás: no hay una moda única.

Las tres medidas describen aspectos diferentes. No se elige una porque tenga el nombre más familiar: primero preguntamos qué interesa resumir. La media requiere cantidades sobre las que tenga sentido sumar; la moda también sirve para categorías, como un color.

Con los datos 2, 4 y 6 sumamos primero: doce. Después dividimos entre tres porque hay tres datos, no porque el mayor sea seis. La media es cuatro. En el dibujo se ve que subir el dos hasta cuatro exige lo mismo que bajar el seis hasta cuatro.

La barra distingue la media; el subíndice indica la posición del dato. Σxᵢ es otra escritura de esa misma suma, no una operación nueva. Un dato repetido se suma tantas veces como aparezca.

Si una tabla indica valores y frecuencias, cada valor aporta valor · frecuencia a la suma. Dividimos entre el total de observaciones, que es la suma de frecuencias, no entre el número de filas.

La mediana usa el orden. Primero colocamos los datos de menor a mayor, conservando repeticiones. Si hay una cantidad impar, queda una posición central: con cinco datos es la tercera. No buscamos el punto medio entre el mínimo y el máximo.

Si hay una cantidad par, quedan dos posiciones centrales. Para datos numéricos usamos su media aritmética: con seis datos promediamos el tercero y el cuarto. El resultado puede no ser uno de los datos registrados.

Con esta convención, al menos la mitad de las observaciones quedan a cada lado de la mediana contando las igualdades. Cuando hay repeticiones no significa que haya exactamente la mitad estrictamente por debajo.

Para hallar la moda contamos apariciones. No buscamos el mayor valor: buscamos el que tiene la frecuencia más alta. Ordenar facilita el recuento, aunque una tabla de frecuencias también permite localizarla.

Si dos valores empatan en la frecuencia máxima y los demás aparecen menos, indicamos ambas modas. Cuando todos aparecen el mismo número de veces no hay una moda única; algunos cursos llaman amodal al caso sin repeticiones. Diremos qué ocurre con las frecuencias para evitar ambigüedad.

Cambiar un solo dato cambia la suma y por eso cambia la media. Si el dato sigue en el mismo extremo de una lista ordenada, puede dejar intacta la posición central y su valor. La mediana es menos sensible a la magnitud de ese cambio, aunque también puede cambiar si se alteran datos centrales.

Ninguna medida cuenta la historia completa. Una media elevada puede representar un reparto muy desigual. Para describir datos conviene mirar también el dibujo, la dispersión y el contexto. Un valor extremo válido no se borra solo para obtener un resumen más cómodo.

Ponderar significa tener en cuenta cuánto cuenta cada valor. Si una actividad aporta el veinte por ciento de la nota y otra el ochenta, no pesan igual. Con pesos que suman uno, multiplicamos cada nota por su peso y sumamos.

Si los pesos son cantidades como 2 y 3, primero sumamos valor · peso y después dividimos entre la suma de pesos. Es la misma idea que usar frecuencias: x̄ = (w₁x₁ + … + wₖxₖ)/(w₁ + … + wₖ), con pesos no negativos y suma positiva.

Saber que un grupo de cinco tiene media cuatro permite recuperar su suma: cinco por cuatro, veinte. Si otro grupo tiene quince datos y media ocho, su suma es ciento veinte. La media conjunta divide la suma total entre el número total de datos.

El promedio simple de las medias solo funciona siempre cuando los grupos tienen el mismo tamaño. Con tamaños diferentes usamos sus cantidades como pesos. No podemos combinar medianas con esta misma regla: las medianas no recuperan la suma ni las posiciones de toda la lista.

Para una media aritmética de un conjunto no vacío, el resultado queda entre su mínimo y su máximo. Multiplicar media por cantidad debe recuperar la suma, salvo redondeo. Si a todos los datos sumamos el mismo número, la media y la mediana aumentan en ese número.

Siempre indicamos la medida solicitada, las unidades y el conjunto descrito. La media de una muestra describe esos datos; extenderla a toda una población requiere estudiar cómo se obtuvieron. Una lista vacía no tiene media: no dividimos entre cero.