Inferencia bayesiana y métodos de remuestreo

Sea θ un parámetro con distribución previa π y sean x los datos. La verosimilitud L(θ; x) evalúa cuánto pesan esos datos para cada θ. La posterior es proporcional a L(θ; x)π(θ): después hay que dividir por la evidencia, sumando o integrando sobre todos los parámetros del modelo.

La evidencia debe ser finita y positiva.

El denominador no depende de θ y hace que la posterior integre uno. Normalizar una verosimilitud sin declarar una previa y una medida no es una aplicación completa de Bayes. Las previas impropias requieren comprobaciones adicionales y no se asumen válidas aquí.

Con pérdida cuadrática y segundo momento finito, elegir a minimizando E[(θ−a)²|x] da a=E(θ|x): la descomposición es Var(θ|x)+(E(θ|x)−a)². Con pérdida absoluta, una mediana posterior minimiza la pérdida esperada cuando esta está definida. Un modo maximiza una densidad especificada; puede no ser único y cambia de manera no equivalente bajo transformaciones de coordenada.

Un conjunto creíble C(x) de nivel 0,95 satisface P(θ∈C(x)|x)=0,95 bajo la previa, el modelo y los datos. Esa probabilidad condicionada no garantiza por sí sola cobertura frecuentista del 95 % para cada θ fijo. Bajo el modelo conjunto previo, una regla de credibilidad exacta sí tiene cobertura promedio previa 0,95 por la esperanza total; una media de coberturas no fija cada cobertura individual.

Una previa Beta(a, b), con a, b>0, tiene densidad proporcional a pᵃ⁻¹(1−p)ᵇ⁻¹ para 0<p<1. En observaciones Bernoulli independientes dado p, s éxitos y f fracasos producen verosimilitud proporcional a pˢ(1−p)ᶠ. Al multiplicar, los exponentes se suman: la posterior es Beta(a+s, b+f).

El coeficiente binomial, si resumimos los datos por el número de éxitos, no depende de p y se cancela al normalizar la posterior. La conjugación es esa conservación de la familia, no una razón para ignorar dependencia o sesgo en la recogida de datos. Dibujamos un ejemplo con previa Beta(3,1) y dos éxitos y tres fracasos.

Los pesos positivos suman uno y muestran cómo se combinan centro previo y proporción observada dentro de este modelo.

La probabilidad predictiva de un éxito nuevo es E(p|datos). Para dos éxitos futuros, independientes dado p, se necesita E(p²|datos), no [E(p|datos)]². Integrar un mismo p desconocido crea dependencia predictiva entre resultados futuros, aunque sean independientes condicionados a p.

Con observaciones iid X₁,…, Xₙ, la distribución empírica Fₙ pone masa 1/n en cada posición observada; si hay valores repetidos, sus masas se suman. Una réplica bootstrap no paramétrica iid elige n posiciones independientemente con reemplazo. Un dato puede repetirse y otro no aparecer. El tamaño de la réplica sigue siendo n.

Calculamos en cada réplica el mismo estadístico T*. Su distribución condicionada a los datos intenta aproximar, bajo condiciones apropiadas, la variación de muestreo de T. Los parámetros no recibieron una previa ni se volvieron aleatorios por hacer bootstrap. La aproximación depende de regularidad del estadístico y de que el remuestreo represente la estructura de los datos.

Con B réplicas independientes se obtiene T*₁,…, T*ᴮ y su media T̄*. El error estándar bootstrap se estima mediante la desviación de esos B estadísticos: √[Σ(T*ᵦ−T̄*)²/(B−1)] cuando B≥2. El sesgo bootstrap estimado es T̄*−T. Ambos son cálculos condicionales a la muestra.

Un intervalo percentil usa cuantiles de T*. Otros métodos invierten diferencias centradas, estandarizan o corrigen sesgo. No tienen todos la misma justificación ni cobertura exacta: su validez puede ser aproximada bajo hipótesis. Aumentar B reduce el error de Monte Carlo al estimar la distribución bootstrap, pero no corrige una muestra sesgada, un estadístico no regular o una unidad de remuestreo equivocada.

La receta iid no vale automáticamente para series temporales, familias, aulas o medidas repetidas. Remuestrear puntos sueltos puede destruir dependencia. Según el diseño, podrían remuestrearse bloques, grupos o residuos bajo condiciones concretas. En regresión, remuestrear pares y remuestrear residuos no tienen las mismas hipótesis ni el mismo objetivo.

Incluso con datos iid, algunos estadísticos extremos son no regulares. El máximo de uniformes en [0, θ] ilustra el problema: una réplica empírica nunca supera el máximo observado y tiene masa positiva exactamente en él. Esa estructura no imita correctamente el límite continuo de la distancia entre el máximo original y θ.

En una prueba de dos grupos se pueden reunir los valores y reasignar etiquetas conservando los tamaños. Para que las asignaciones sean equiprobables bajo H₀ se necesita intercambiabilidad apropiada o un diseño de aleatorización que la justifique. Igualdad de medias por sí sola no hace intercambiables distribuciones con formas o varianzas diferentes.

En un experimento aleatorizado, el conjunto de asignaciones permitidas lo fija el diseño; la interpretación exacta depende de la hipótesis que autoriza mantener fijos los resultados bajo esas reasignaciones, como una nula causal tajante. En datos emparejados o bloqueados deben respetarse las restricciones. No se mezclan todas las etiquetas ignorando cómo se recogieron los datos.

Si se enumeran todas las asignaciones equiprobables válidas, el p-valor es la proporción con estadístico al menos tan extremo como el observado, contando este último. La cola o valor absoluto se define antes. Con empates, contar “al menos” da validez conservadora; una regla de empates aleatoria se tendría que especificar aparte.

Si se simula un subconjunto, no se presenta como enumeración exacta. En el esquema válido de referencia Monte Carlo por rangos intercambiables, con B reasignaciones aleatorias adicionales y b de ellas al menos tan extremas, se usa (b+1)/(B+1). El +1 cuenta el observado; la justificación necesita que ese esquema de aleatorización haga válidos los rangos.

No se aplica a una colección arbitraria o seleccionada de permutaciones.

En Bayes, los datos observados están fijados y la posterior distribuye incertidumbre sobre θ bajo un modelo y previa. En bootstrap, los datos fijan Fₙ y se vuelven a elegir observaciones para aproximar la variación de un estadístico. En permutación, los valores reunidos quedan fijos y se reasignan etiquetas bajo la nula o diseño autorizado.

La calidad numérica y la validez estadística son controles distintos. Una cadena o simulación puede reproducir perfectamente un modelo mal elegido. Hay que declarar objetivo, unidad de análisis, supuestos, criterio de extremidad o resumen y límite de la conclusión; después se revisa la estabilidad de los cálculos.

Ninguna técnica elimina la necesidad de justificar cómo se obtuvieron los datos.