Probabilidad total y teorema de Bayes

En un ejemplo inventado hay cien animales: cuarenta gatos y sesenta perros. Ocho gatos y treinta perros son blancos. Seleccionamos un animal con la misma probabilidad para cada uno.

Después nos dicen que salió blanco. El animal seleccionado no cambia; cambia nuestra información. La pregunta ya no se refiere a los cien, sino a los blancos: qué proporción de ellos son gatos. Nombramos G: gato, D: perro y W: blanco para mantener separados origen y evidencia.

P(W|G) pide color dentro del grupo de gatos: el denominador será cuarenta. P(G|W) pide especie dentro del grupo de blancos: el denominador será treinta y ocho. El caso favorable en ambos recuentos son los ocho gatos blancos, pero cambiamos el grupo al que se compara.

Bayes no permite invertir la barra sin datos adicionales. Relaciona esas dos preguntas usando además la frecuencia inicial de gatos y la probabilidad total de blanco. La condición está a la derecha de la barra; antes de calcular la leemos en voz completa.

La información inicial y las tasas dentro de cada grupo deben ser compatibles. Si cuarenta gatos tienen un 20 % blanco, hay ocho blancos y treinta y dos no blancos. Si el 50 % de sesenta perros es blanco, hay treinta de cada color.

Gatos y perros forman una partición en este ejemplo: cada animal pertenece a uno de los grupos y a ninguno de los dos a la vez. Si hubiera otra especie habría que contarla. Una suma incompleta de grupos no daría la probabilidad total correcta.

La probabilidad de gato y blanco es 8/100. Se obtiene también como (40/100)(8/40): el primer factor llega a gatos y el segundo toma su parte blanca. Al multiplicar, el tamaño cuarenta del grupo intermedio se cancela.

Es regla del producto con condición, sin suponer independencia. Gatos y blancos pueden coincidir; los grupos disjuntos de origen aquí son gatos y perros.

Cada blanco es gato blanco o perro blanco. No puede ser ambas especies, así que sumamos: P(W)=P(G∩W)+P(D∩W)=0,08+0,30=0,38. Es la misma cuenta de treinta y ocho entre cien.

Es una media ponderada de las tasas 0,2 y 0,5: los pesos 0,4 y 0,6 son los tamaños relativos de sus grupos. No hacemos un promedio simple salvo que esos pesos sean iguales.

El numerador sigue siendo la vía gato y blanco; el denominador reúne todos los blancos.

La evidencia debe tener probabilidad positiva para usar esta razón. La respuesta queda entre cero y uno porque el numerador es parte del denominador. Podemos trabajar con cantidades o con probabilidades: ambos dividieron antes por el mismo total de cien.

Si A₁,…,Aₙ forman una partición con grupos de probabilidad positiva, P(W)=∑P(Aᵢ)P(W|Aᵢ). Para el grupo concreto Aⱼ, dividimos su producto P(Aⱼ)P(W|Aⱼ) entre esa suma total.

Un grupo de probabilidad cero aporta probabilidad conjunta cero y puede omitirse: no necesitamos inventar una razón condicionada a ese grupo vacío. Lo esencial es cubrir todas las vías posibles, no repetirlas y usar una evidencia de probabilidad positiva.

Una señal que aparece mucho dentro de un grupo raro puede provenir con frecuencia del grupo común. La calidad de la señal se expresa mediante sus tasas condicionadas; la probabilidad del origen después de verla combina esas tasas con las proporciones iniciales.

Usaremos una alarma de fábrica inventada para no confundir la regla con una recomendación práctica. Supongamos que detecta el 90 % de piezas defectuosas y marca por error el 5 % de las correctas. Esas dos tasas no dicen por sí solas qué parte de las marcadas tiene un defecto.

Una aplicación de Bayes ya da el resultado que corresponde a sus datos y supuestos. Volver a decir que el animal es blanco no aporta una segunda evidencia distinta: W y W es el mismo suceso W. No multiplicamos otra vez la misma tasa para mejorar una respuesta.

Si llega una observación nueva, podemos actualizar, pero necesitamos su probabilidad condicionada a lo ya conocido. Multiplicar dos tasas iguales de alarmas solo está justificado, por ejemplo, cuando las observaciones son independientes una vez fijado el estado defectuoso o correcto. Sin esa condición pueden estar repitiendo el mismo error.