Saber algo sobre el resultado puede cambiar qué casos siguen siendo posibles. Una probabilidad condicionada calcula proporciones dentro de ese nuevo grupo. Primero vamos a verlo con personas y recuentos; después escribiremos la fórmula, construiremos árboles y decidiremos cuándo conocer una condición no cambia la probabilidad.
Si necesitas repasar:
1. La condición indica qué casos quedan como referencia
En un grupo inventado de veinte personas, doce leen y ocho practican deporte; cuatro hacen ambas cosas. Elegimos una persona uniformemente. A significa lee y B practica deporte. Sin otra información usamos las veinte como referencia.
Si sabemos B, descartamos quienes no practican deporte. Quedan ocho, de las que cuatro leen. P(A|B) se lee probabilidad de A dado B.
El numerador cuenta cumplir ambas condiciones y el denominador normaliza el grupo B.
Primero elegimos el denominador
En ese grupo, halla la probabilidad de leer sabiendo que practica deporte.
Condición
Deporte: ocho personas como referencia.
Casos dentro
Las cuatro que leen y practican deporte.
Proporción
4/8=1/2.
P(A|B)=1/2.
Cuatro entre veinte sería la probabilidad conjunta, no la condicionada.
Invertir la barra cambia el grupo
Halla la probabilidad de deporte sabiendo que lee.
Nueva condición
Ahora tomamos las doce personas que leen.
Intersección
Siguen siendo las mismas cuatro de ambas actividades.
Nueva proporción
4/12=1/3.
P(B|A)=1/3, diferente de 1/2.
Mismo numerador no significa misma respuesta si cambia el denominador.
2. Una tabla completa separa intersecciones y totales
La tabla coloca cada persona en una sola casilla: lee y hace deporte, lee sin deporte, no lee con deporte o ninguna de las dos. Los márgenes suman cada grupo. Para condicionar a una columna dividimos entre su total; para una fila, entre el total de esa fila.
Los recuentos sirven así porque cada persona se elige con la misma probabilidad. Si los resultados elementales tienen pesos distintos, usamos sumas de probabilidades, no simplemente cuántos nombres hay. La fórmula por probabilidades conserva el significado en ambos casos.
| Grupo | Deporte B | Sin deporte | Total |
|---|---|---|---|
| Lee A | 4 | 8 | 12 |
| No lee | 4 | 4 | 8 |
| Total | 8 | 12 | 20 |
Completar las cuatro regiones
Construye la tabla de las veinte personas.
Ambas
Cuatro.
Solo lectura
Doce menos cuatro: ocho.
Solo deporte
Ocho menos cuatro: cuatro.
Ninguna
20 − (4+8+4) = 20−16 = 4.
Casillas cuatro,ocho,cuatro,cuatro; total veinte.
Restamos la suma completa de las tres regiones ya ocupadas para no contar dos veces la intersección.
Los casos no equiprobables se pesan
Resultados a,b,c tienen probabilidades 0,1;0,2;0,7. B={a,b}, A={b,c}. Halla P(A|B).
Condición
P(B)=0,1+0,2=0,3.Intersección
A∩B={b}, probabilidad 0,2.Razón
0,2/0,3=2/3.
Dos tercios, no un medio.
Contar uno de dos nombres ignoraría que b tiene el doble de peso que a.
3. Dentro de una condición positiva siguen valiendo las reglas de probabilidad
Al fijar B con probabilidad positiva, las probabilidades condicionadas están entre cero y uno y P(B|B)=1.
Aᶜ significa que no ocurre A. Para sumar sucesos incompatibles dentro de B mantenemos la misma condición en todos los términos.
Si P(B)=0, esta definición elemental no permite formar la razón. Una probabilidad condicionada uno tampoco afirma que A sea seguro en todo el experimento: afirma que dentro de B la parte donde falla A tiene probabilidad cero. La información condicionante puede conocerse después del hecho; no impone un orden temporal de causas.
El complemento conserva el grupo de referencia
De quienes practican deporte en la tabla, ¿qué probabilidad hay de que no lea?
Condición fija
Ocho personas.
Complemento dentro
Cuatro no leen: 4/8=1/2.Revisar
1−P(A|B)=1−1/2=1/2.
Un medio.
No usamos las ocho personas que no leen sobre veinte: eso sería una pregunta sin condicionar.
Seguro dentro de un caso, no seguro globalmente
En un dado justo, A es salir par y B es salir dos. Compara P(A|B) con P(A).
Dentro de B
El único resultado dos es par: P(A|B)=1.Sin esa información
Solo tres de seis caras son pares: P(A)=1/2.
Interpretar
La certeza corresponde al grupo B, no al experimento completo.
Uno condicionado y un medio sin condicionar.
Si B fuera el suceso imposible, no podríamos calcular el cociente elemental.
4. La regla del producto combina una llegada al grupo y una proporción dentro
También podemos llegar primero por A y después usar P(B|A). Es la misma intersección calculada en dos órdenes; no hemos supuesto independencia.
En un árbol, multiplicamos a lo largo de una ruta y sumamos rutas disjuntas. Las ramas que salen del mismo nodo suman uno. Para tres sucesos, la cadena es P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C|A∩B), cuando están definidas las condiciones usadas.
Dos rojas sin devolver la primera
Una bolsa tiene tres bolas rojas y dos azules, elegidas uniformemente sin reposición. Calcula P(R₁∩R₂).
Primera roja
Tres de cinco: 3/5.
Después de roja
Quedan dos rojas de cuatro bolas: 2/4.
Ruta
(3/5)(2/4)=3/10.
Tres décimos.
El segundo factor pertenece al grupo de resultados en que ya salió roja; no permanece en 3/5.
Una ruta de tres etapas
En esa bolsa, calcula roja, roja, azul sin reposición.
Primera
3/5.
Segunda después de roja
2/4.
Tercera después de dos rojas
Queda una roja y dos azules: 2/3.
Multiplicar
(3/5)(2/4)(2/3)=1/5.
Un quinto.
Para tres rojas, el último factor sería 1/3 y el resultado 1/10: la condición acumula lo que ya se extrajo.
5. Independencia significa que la condición no cambia la probabilidad
Si P(A)>0, también equivale a P(B|A)=P(B): es una relación simétrica aunque la barra señale una dirección.
No se demuestra por usar nombres distintos o porque los sucesos parezcan ajenos. Debe seguirse del modelo o comprobarse con sus probabilidades. Con reposición y nuevas selecciones independientes restauramos el mismo reparto; sin reposición, conocer una extracción puede cambiar la siguiente.
Dos monedas según un modelo independiente
Lanzamos dos monedas justas de forma independiente. A es cara en la primera y B cara en la segunda.
Marginales
P(A)=P(B)=1/2.Intersección
Una pareja de las cuatro equiprobables: cara,cara; probabilidad 1/4.
Comprobar
(1/2)(1/2)=1/4.
Son independientes.
Conocer la primera cara deja la segunda con probabilidad un medio, bajo el modelo indicado.
Reposición frente a cambio de composición
En la bolsa de tres rojas y dos azules, compara dos extracciones con y sin reposición.
Con reposición independiente
P(R₂|R₁)=3/5=P(R₂); P(R₁∩R₂)=9/25.Sin reposición
P(R₂|R₁)=2/4=1/2, distinto de P(R₂)=3/5.Comprobar la marginal sin reposición
P(R₂)=P(RR)+P(AR)=3/10+3/10=3/5.
Los colores son independientes en el primer modelo, pero no en el segundo.
Conservar una marginal no basta: la igualdad debe mantenerse al condicionar.
6. Incompatibilidad impide coincidir; independencia compara probabilidades
Si A y B son incompatibles, A∩B es vacío y tiene probabilidad cero. Si ambos tienen probabilidad positiva, su producto es positivo: no son independientes. Conocer que ocurrió uno descarta el otro por completo.
Si A y B son independientes, sus complementos también conservan la independencia.
La excepción de probabilidades cero exige usar la definición por producto, sin dividir por un cero.
Dos resultados distintos del mismo dado
A es salir uno y B salir seis en un dado justo. ¿Son independientes?
Incompatibles
No salen uno y seis a la vez: intersección cero.
Producto
P(A)P(B)=(1/6)(1/6)=1/36, no cero.Condicionar
Saber seis deja probabilidad cero de uno.
Son incompatibles y dependientes.
No poder ocurrir juntos expresa información fuerte entre los sucesos, no independencia.
Complementos y el caso de probabilidad cero
Si P(A)=0,3, P(B)=0,4 y son independientes, calcula P(Aᶜ∩B).
Intersección original
0,3·0,4=0,12.Restar de B
0,4−0,12=0,28.Producto de complementario
0,7·0,4=0,28.
0,28.
Si A fuera el suceso vacío, sería a la vez incompatible e independiente de B: ambos lados de la igualdad de producto valdrían cero.
7. Independencia por parejas no asegura independencia de tres sucesos juntos
Para tres o más sucesos no basta revisar cada pareja: también hay que comprobar intersecciones de grupos mayores. Puede haber una condición que solo aparezca al conocer dos sucesos simultáneamente.
Con dos monedas justas independientes tenemos cuatro resultados equiprobables CC,CX,XC,XX, donde C es cara y X cruz. Definimos A: primera cara; B: segunda cara; E: las dos iguales. Esos sucesos no son tres lanzamientos distintos: E se construye a partir de los dos primeros resultados.
Tres parejas independientes, sin independencia conjunta
Comprueba A,B,E del ejemplo.
Cada probabilidad
A={CC,CX}, B={CC,XC}, E={CC,XX}: todas valen 1/2.Cada pareja
Su intersección es solo CC: 1/4=(1/2)(1/2).Las tres a la vez
También solo CC: 1/4, pero el producto triple es 1/8.
Son independientes por parejas y no conjuntamente.
Conocer A y B obliga E, aunque conocer una sola de esas dos no cambie su probabilidad.
Tres lanzamientos realmente independientes
Ahora lanzamos tres monedas justas de forma independiente, y cada suceso pide cara en una moneda distinta.
Resultados
Hay ocho ternas equiprobables.
Una, dos y tres caras especificadas
Probabilidades 1/2,1/4 y 1/8.
Comprobar grupos
Cada intersección de sucesos distintos coincide con el producto de sus probabilidades.
En este modelo sí hay independencia conjunta.
El resultado viene del modelo de lanzamientos independientes, no solo de una comprobación por parejas.
8. Sumar grupos separados permite recuperar el total e invertir la condición
Si B₁,…,Bₖ forman una partición, cada resultado pertenece exactamente a uno.
Multiplicamos para llegar a A por cada grupo y sumamos esos caminos disjuntos.
El denominador reúne todos los grupos que pueden explicar A. Una sola tasa P(A|Bᵢ) no basta para invertir la barra: también importa cuán frecuente era cada grupo.
Un total ponderado
Dos máquinas producen el 40 % y el 60 % de piezas. Sus tasas de defecto son 2 % y 5 %. Halla P(defecto).
Por la primera
0,4·0,02=0,008.Por la segunda
0,6·0,05=0,03.Sumar
0,008+0,03=0,038.
3,8 %.
No es el promedio simple 3,5 %, porque las máquinas aportan cantidades distintas.
Invertir desde un defecto
Con los mismos datos, si salió una pieza defectuosa, halla la probabilidad de la primera máquina.
Referencia
Todos los defectos: probabilidad 0,038.
Contribución buscada
Primera y defectuosa: 0,008.
Dividir
0,008/0,038=4/19≈0,2105.
4/19, aproximadamente 21,05 %.
La tasa 2 % respondía a defecto sabiendo máquina; aquí preguntamos máquina sabiendo defecto.
9. Comprobamos los datos antes de interpretar una condición
La intersección no puede superar a ninguno de sus sucesos. Una probabilidad condicionada debe quedar entre cero y uno y su condición debe tener probabilidad positiva en esta definición. Una tabla que viola esas cotas no describe el modelo declarado.
Condicionar expresa información probabilística; no establece automáticamente qué causó qué. También distinguimos probabilidades exactas del enunciado de frecuencias estimadas en una muestra: una igualdad aproximada en una tabla no demuestra independencia de toda una población.
Datos incompatibles aunque una de las razones parezca admisible
Se afirma P(A)=0,2, P(B)=0,3 y P(A∩B)=0,25. ¿Puede ser?
Cota
La intersección está contenida en A, por tanto debe tener probabilidad≤0,2.
Contradicción
0,25 supera 0,2.
Otra señal
P(B|A) daría 0,25/0,2=1,25, imposible.
No son probabilidades compatibles.
Que 0,25/0,3 esté entre cero y uno no arregla la contradicción del conjunto de datos.
Usar una probabilidad condicionada no convierte la condición en causa
En una tabla, saber que una persona lleva paraguas cambia la proporción de días con lluvia. ¿Prueba que el paraguas provoca lluvia?
Información
La presencia de paraguas ayuda a distinguir grupos de días.
Causalidad
La tabla de frecuencias no establece una intervención que produzca lluvia.
Interpretación
P(lluvia|paraguas) es una asociación condicionada en el modelo.
No prueba esa causa.
El significado de la barra es dado que sabemos, no causado por.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Cambiar el denominador
De 40 alumnos, 18 estudian francés. De esos 18, 12 estudian también inglés. Halla P(inglés|francés) al elegir alumno uniformemente.
Leer la condición
Sabemos francés: solo compiten los dieciocho alumnos que lo estudian.
Intersección
Dentro de esos dieciocho, doce estudian también inglés.
Dividir
12/18=2/3.Revisar denominador
Los cuarenta se usarían para una probabilidad sin esa condición; aquí el grupo conocido es francés.
2/3.
No dividimos entre los 40 porque ya sabemos que estudia francés.
EJEMPLO RESUELTO 2
Comprobar independencia
P(A)=0,4, P(B)=0,5 y P(A∩B)=0,2. ¿Son independientes?
Criterio sin dividir
Independencia exige P(A∩B)=P(A)P(B).Producto
0,4·0,5=0,2.Comparar
Coincide con la intersección dada: sí son independientes.
Segunda comprobación
P(B)>0 y P(A|B)=0,2/0,5=0,4=P(A).
Sí.
P(A|B)=0,2/0,5=0,4=P(A).
Los símbolos que hemos usado
- A,B
- Sucesos, es decir, conjuntos de resultados del experimento.
- A∩B
- Suceso en el que ocurren A y B simultáneamente.
- Aᶜ
- Complementario de A, formado por los resultados donde A no ocurre.
- P(A|B)
- Probabilidad de A sabiendo que ocurrió B, con P(B)>0.
- Independencia
- Propiedad P(A∩B)=P(A)P(B).
- Partición
- Familia de sucesos disjuntos que cubren todos los casos posibles.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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