Demostración directa, contraposición y contradicción

En si n es múltiplo de cuatro, entonces n es par, el dominio son los enteros, el dato es que n=4k para algún k entero y el objetivo es escribir n=2r con r entero. El parámetro k puede variar: no estamos eligiendo un único múltiplo favorable.

Las definiciones convierten las palabras en herramientas. Par significa 2k; impar, 2k+1, con k entero.

La frase n=2k sin exigir k entero no caracterizaría paridad: cualquier real n se puede escribir como 2(n/2).

Una sustitución usa el dato, un desarrollo usa una identidad y el último paso vuelve a la definición del objetivo. No basta terminar en una igualdad verdadera: debe expresar exactamente la propiedad solicitada.

En divisibilidad y paridad, suele faltar justificar que el factor restante sea entero. Si obtenemos 3r con r racional, aún no hemos probado múltiplo entero de tres. El dominio de cada variable sostiene la conclusión.

P⇒Q y ¬Q⇒¬P excluyen la misma situación: P verdadera con Q falsa. Por eso son equivalentes en la lógica clásica de esta página. La ruta contrapuesta resulta útil cuando negar el objetivo da una forma que sabemos calcular.

Escribimos primero la frase completa. Si n es entero, no ser par equivale a ser impar: la división por dos tiene resto cero o uno. Fuera de los enteros, no podemos usar automáticamente esa alternativa de paridad.

La inversa lógica es ¬P⇒¬Q; equivale a la recíproca, no en general al original. Mantener los nombres P y Q ayuda, pero comprobamos también el significado completo y el dominio.

Un contraejemplo a una implicación debe tener hipótesis verdadera y conclusión falsa. Elegir una entrada cuya hipótesis ya es falsa no la refuta. Esa comprobación explica por qué ciertas aparentes excepciones no sirven.

Para probar Q, suponemos provisionalmente ¬Q y deducimos algo imposible con los datos válidos. Para probar P⇒Q de este modo, mantenemos P y ¬Q hasta llegar al conflicto. Al cerrar, se rechaza el supuesto provisional, no una hipótesis auténtica del problema.

La contradicción debe estar identificada: un entero a la vez par e impar, una desigualdad y su negación o un divisor común que contradice irreducibilidad. Escribir absurdo sin decir qué afirmaciones chocan oculta el punto esencial.

La contraposición puede probarse directamente: partimos de ¬Q y llegamos a ¬P sin ningún supuesto adicional. En una contradicción de P⇒Q partimos de P y ¬Q y buscamos una incompatibilidad. Ambas rutas son válidas, pero conviene anunciar cuál estamos usando.

No hay obligación de forzar un método difícil. Si la definición del dato produce de inmediato el objetivo, la prueba directa suele ser suficiente. Si negar la conclusión da un objeto algebraico sencillo, puede convenir la contraposición. Para negar una existencia, la contradicción permite empezar con un supuesto testigo.

Una dirección puede ser directa y la otra contrapuesta. Escribimos qué estamos suponiendo en cada mitad y no reutilizamos como probado lo que todavía queremos demostrar.

Una cadena con ⇔ exige que cada transformación sea reversible en el dominio. Elevar al cuadrado puede perder el signo; multiplicar por una expresión que pueda ser cero puede añadir soluciones. Si usamos solo ⇒, comprobamos los candidatos en el enunciado inicial.

Para existe x con una propiedad, un testigo válido basta. Para todo x la cumple, hace falta un argumento general o revisar todos si el dominio es finito y completamente enumerado. Un millón de casos favorables no cubre por sí solo un dominio infinito.

Al refutar si P entonces Q, comprobamos las dos condiciones: el caso cumple P y falla Q. Si olvidamos la primera, quizá solo estemos mostrando algo que el enunciado nunca prometía. Al probar una existencia, comprobamos también que el testigo pertenece al dominio.

Podemos trabajar hacia atrás en un borrador para descubrir qué bastaría demostrar. La prueba terminada debe partir de los datos o mantener equivalencias justificadas. Usar como premisa la conclusión o una formulación equivalente no aporta una demostración.

Dividir requiere divisor no nulo; al dividir una desigualdad debemos conocer el signo. En los reales, ab=0 obliga a algún factor cero. En otro sistema, como las clases módulo cuatro, [2][2]=[0] muestra que esa propiedad no es automática.

Revisamos dominio, arbitrariedad, supuestos provisionales y propiedad de llegada. Una cuenta como n²=25r demuestra múltiplo de veinticinco solo si r es entero. Una contradicción debe explicar qué supuesto se elimina, y una contraposición debe volver a enlazar con la afirmación original.

También distinguimos error algebraico de enunciado falso. Si un contraejemplo cumple los datos y viola el objetivo, corresponde corregir el enunciado; no alargar un razonamiento para esconderlo. Una prueba clara permite localizar cada uso de una hipótesis.