Variables aleatorias y distribuciones

En cada resultado ω, X(ω) es un número real. Para poder preguntar probabilidades, exigimos medibilidad:{ω: X(ω)≤x} debe ser un suceso para todo x. Esto equivale a que las preimágenes de todos los borelianos sean medibles.

Traslada el peso del experimento a la recta. Conocer la ley de X no revela cómo se relaciona con otra variable: dos construcciones pueden tener las mismas leyes individuales y dependencias distintas.

Es no decreciente, tiende a cero hacia −∞ y a uno hacia +∞, y es continua por la derecha. Esta última propiedad sale de xₙ↓x:{X≤xₙ} decrece hasta {X≤x}, y usamos continuidad de la probabilidad.

La masa exacta en a es el salto F(a)−F(a−). La acumulada determina toda la ley real.

Una ley discreta concentra probabilidad uno en una lista finita o numerable de valores aₖ. Sus masas pₖ=P(X=aₖ) son no negativas y suman uno. La probabilidad de un conjunto se obtiene sumando las masas que contiene.

Los valores pueden ser negativos, fracciones o números no igualmente espaciados. Los saltos de F tienen tamaño pₖ. La posibilidad de enumerar valores no implica que sus pesos sean iguales; no existe una uniforme sobre todos los enteros positivos.

Una ley absolutamente continua tiene f≥0 con integral total uno y P(a<X≤b)=∫ de a a b de f. El valor f(x) tiene unidades de probabilidad por unidad de longitud; no es P(X=x). Cada punto tiene probabilidad cero.

Una densidad puede ser mayor que uno si ocupa poca anchura. Cambiarla en un conjunto de longitud cero no altera ninguna probabilidad. Su soporte y su normalización son tan importantes como la expresión algebraica.

Supón que con probabilidad 1/4 el resultado es exactamente cero y con probabilidad 3/4 se elige un uniforme en [0,2]. La ley tiene un átomo y una parte absolutamente continua. Ninguna densidad respecto a longitud puede recoger sola ese salto.

No toda ley pertenece a una de esas dos clases puras. También existen leyes continuas sin densidad, como la de Cantor, que construiremos en el apartado siguiente. «F es continua» solo excluye átomos; no garantiza derivar F para recuperar toda su masa.

La serie converge entre cero y uno. Sus dígitos ternarios solo usan 0 y 2: su valor queda en el conjunto de Cantor. Fijar n bits selecciona uno de 2ⁿ intervalos de longitud 3^(−n), con masa 2^(−n).

La longitud total de esos intervalos es (2/3)ⁿ→0, mientras conservan masa uno. Cada punto está dentro de un intervalo de cada nivel, por lo que su probabilidad es ≤2^(−n) para todo n y vale cero. La ley es sin átomos, pero singular respecto a longitud: no admite densidad.

Por eso su acumulada es continua y aun así no es una ley absolutamente continua.

El indicador de A vale 1 si A ocurre y 0 si no.

Para n ensayos independientes con la misma probabilidad p, la suma de sus indicadores tiene ley Bin(n, p).

El coeficiente cuenta posiciones de los k éxitos; cada secuencia de ese tipo tiene el mismo producto.

Dependencia o tasas distintas necesitan otro modelo.

Suman uno por la serie de e^λ. En un proceso de Poisson homogéneo de tasa r, el número de llegadas en tiempo t tiene parámetro λ=rt. Contar sucesos no basta: el modelo impone tasa homogénea e incrementos independientes.

La espera T hasta la siguiente llegada tiene densidad r e^(−rx), x≥0, y supervivencia P(T>t)=e^(−rt). Su media es 1/r.

Uniforme[a, b], a<b, tiene densidad 1/(b−a) en el intervalo y cero fuera. Una franja interior pesa su longitud dividida por b−a. No hay masa positiva igual en cada punto.

Normal N(μ, σ²), σ>0, tiene densidad exp(−(x−μ)²/(2σ²))/(σ√(2π)). μ es el centro y σ la desviación típica; el segundo parámetro es su cuadrado.

La campana tiene soporte en toda la recta; no asigna probabilidad cero a todos los valores negativos solo porque una aplicación espere magnitudes positivas.

Si h es creciente e invertible, se invierte la desigualdad; si es decreciente, cambia el sentido. Si no es monótona, pueden aparecer varias ramas.

En una transformación regular monótona, la densidad incorpora el valor absoluto de la derivada de la inversa. Cambiar solo el argumento no conserva áreas. Cuando hay varias preimágenes, se suman sus aportaciones en las zonas donde el cambio es regular.

En una masa: valores no negativos y suma uno. En una densidad: valores no negativos casi por doquier, soporte e integral uno. En una acumulada: monotonía, continuidad por la derecha y límites 0 y 1. No son pruebas intercambiables.

Una altura de densidad mayor que uno puede ser válida; una probabilidad acumulada mayor que uno nunca lo es. Los extremos de intervalos importan cuando hay átomos. Y para escoger una familia hay que declarar los supuestos del experimento, no solo reconocer la forma de una curva.