Inferencia exacta por enumeración

Una CPT da la distribución de un nodo conocidos sus padres. Una consulta puede observar hijos, nodos lejanos o varias variables. No invertimos la barra ni copiamos una fila para responder una pregunta distinta.

La conjunta contiene todos los casos discretos. Para evidencia con probabilidad positiva podemos sumar los casos compatibles y aplicar la definición de condicionada. La enumeración realiza esas sumas explícitamente, mostrando qué producto aporta cada configuración.

Q es la variable o vector consultado; q, un estado suyo. E reúne variables observadas y e sus valores. H contiene las restantes: ni observadas ni consultadas. Estas categorías dependen de la pregunta.

Normalmente Q y E son disjuntos. Si una parte de la consulta ya está observada, queda fijada. En la suma fijamos q y e y recorremos todos los h posibles; elegir solo el h más probable respondería otro problema.

Un estado completo fija todas las variables. Multiplicamos un factor por nodo, usando la fila de sus padres en ese mismo estado. Las raíces aportan su marginal; las demás variables, su condicional.

Al cambiar un estado oculto pueden cambiar varias filas. Escribimos primero el producto simbólico, después los estados y por último los números. Sumar los factores de un mismo caso no produce la conjunta.

La puntuación es la conjunta P(Q=q, E=e).

Cada h describe un caso incompatible con los otros; por eso sus productos se suman.

Si H está vacío existe una sola configuración vacía y queda un único producto. Los estados imposibles aportan cero. No se omite una posibilidad positiva solo porque parezca poco probable.

Calculamos τ(q) para cada estado q. Su suma es P(e), porque reúne todas las formas de cumplir la evidencia. Si es positiva, . r recorre todos los estados posibles, no solo el consultado.

Podemos llamar α al recíproco del total y escribir ατ(q). No es una constante elegida a ojo: conserva las proporciones y hace que la distribución sume uno.

Fijamos la evidencia, recorremos estados de Q y, para cada uno, todos los H. Cada caso aporta su producto completo. Acumulamos τ, sumamos el total y normalizamos si permite dividir.

Revisamos: una entrada por nodo, todas las configuraciones ocultas una vez y total posterior uno. Si calculamos la conjunta completa, debe sumar uno antes de condicionar. La CPT se revisa por filas, no sumando condiciones distintas.

Si todas las puntuaciones son cero, P(e)=0 y el cociente habitual no define la posterior. No respondemos cero para todos los estados: eso tampoco sumaría uno.

Si solo una puntuación vale cero y el total es positivo, ese estado sí recibe posterior cero. En enumeración exacta un total cero expresa una imposibilidad del modelo; en un bloque finito de muestras, ningún caso aceptado puede deberse solo al azar.

Enumerar es exacto porque no sustituimos la suma por muestras ni descartamos términos por aproximación. Las probabilidades calculadas son las del modelo dado. Si sus tablas se estimaron con incertidumbre, esa incertidumbre no desaparece.

Con n variables binarias hay 2 ⁿ estados completos. La eliminación de variables reutiliza factores y sumas y puede ahorrar mucho trabajo según el grafo. Además, usar decimales de máquina introduce redondeo o subdesbordamiento: exactitud matemática y precisión numérica son cuestiones distintas.

A partir de aquí usamos L→M: L indica lluvia y M suelo mojado. Ambas son binarias. P(L=Sí)=P(L=No)=0,50; las probabilidades de M=Sí son 0,80 con lluvia y 0,20 sin ella.

Estos datos son didácticos inventados, no una estimación meteorológica. Las lecciones de rechazo y LW usarán exactamente el mismo modelo para que un cambio de resultado no se confunda con cambiar los datos.

No se nos ha dicho que llueva. Aquí no hay variables ocultas adicionales.

La respuesta de esta consulta también saldrá 0,80, pero solo después de reunir la raíz y las dos filas; no es una regla de inversión.

Dos variables binarias producen cuatro configuraciones. En cada una multiplicamos la marginal de L por la entrada de M que corresponda a ese L. Cambiar M selecciona la columna; cambiar L cambia también la fila de la CPT.

Escribir todos los casos antes de filtrar permite revisar la normalización y las marginales.

Si no lo hicieran revisaríamos complementos, filas y productos antes de condicionar.

Sumar una fila recupera P(L). Sumar una columna recupera P(M). Son marginales: dejamos libre la variable sumada; todavía no cambiamos el grupo de referencia dividiendo.

Su suma 0,50 es la probabilidad de la evidencia.

El numerador de lluvia toma solo 0,40. El denominador incluye ambas formas de mojado. Esta diferencia se mantendrá en muestreo: cambiará cómo obtenemos las aportaciones, no qué grupo cuenta abajo.

Ambas suman uno. El 0,40 inicial era una conjunta y solo después del cociente se interpreta «dentro del grupo mojado».

La coincidencia con la entrada 0,80 de la CPT depende de la raíz 0,50. Si cambia esa frecuencia inicial hay que rehacer los dos productos. El segundo ejercicio lo comprobará.