Logic Sampling y muestreo por rechazo

Tenemos un DAG discreto finito y todas sus CPT válidas. Un estado completo tiene probabilidad igual al producto de sus factores. El muestreo ancestral genera esos estados sin recorrer previamente todas las combinaciones.

Para una marginal contamos el suceso entre todas las rondas.

Las tablas no se actualizan después de cada ronda: aquí inferimos con un modelo dado, no aprendemos sus parámetros.

Elegimos un orden topológico. Cada raíz se sortea con su marginal. Para cada hijo buscamos la fila correspondiente a los estados de padres ya generados y sorteamos desde esa distribución.

Una ronda termina con estados para todos los nodos. La siguiente empieza con nuevos sorteos y un registro nuevo. El orden organiza la representación probabilística; no requiere interpretar causalmente las flechas.

Para estados a, b, c con probabilidades 0,2; 0,5; 0,3 dividimos [0,1) en [0; 0,2), [0,2; 0,7) y [0,7; 1). Un uniforme u selecciona el estado de su tramo. Las longitudes, no el número de estados, determinan sus frecuencias.

En una fila binaria basta u<p para el primer estado y u≥p para el segundo. Usamos extremos coherentes sin huecos ni solapamientos. El u no es otro factor probabilístico que multiplicar.

La raíz sale con su factor. Condicionados a los estados anteriores, cada nuevo nodo sale con la entrada de la CPT elegida. Multiplicar esas decisiones da .

Por tanto las rondas tienen la distribución conjunta correcta. El argumento exige filas correctas, orden parental y sorteos adecuados. No podemos generar en un orden arbitrario rellenando padres desconocidos con valores inventados.

Para consultar P(Q=q|E=e), generamos todos los nodos y comprobamos cada observado. La ronda se acepta si coincide con toda la evidencia. Si un observado contradice su valor, se puede abandonar pronto la ronda; seguirá siendo un intento rechazado.

Una ronda aceptada puede fallar la consulta: entonces entra abajo, pero no arriba. No se arregla un rechazo cambiando después el estado observado para forzarlo; eso sería otro procedimiento y necesitaría otros pesos.

Si N es el número de intentos, Nₑ las aceptadas y Nq, e las aceptadas que además cumplen la consulta, cuando Nₑ>0. No multiplicamos otra vez cada unidad por la probabilidad con que se generó.

Nq, e/N estima una conjunta. Nₑ/N estima P(e). Para todos los estados de Q, sus numeradores particionan las aceptadas y sus posteriores estimadas suman uno.

Una ronda ancestral tiene ley P. Si conservamos exactamente E=e, la probabilidad de un estado restante z entre las aceptadas es P(z, e)/P(e), suponiendo P(e)>0. Es la posterior que queríamos.

Esta igualdad justifica el filtro. Un criterio adicional que dependa de Q seleccionaría otro grupo y puede introducir sesgo. En particular no descartamos aceptadas porque su respuesta no nos guste.

Con N intentos independientes, el número esperado de aceptadas es N·P(e). Si P(e) es pequeña se pueden generar muchas rondas y conservar pocas. El número de intentos solo no describe la información disponible sobre la posterior.

Para evidencia compuesta no multiplicamos marginales sin independencia: necesitamos P(e) conjunta. Cada intento puede recorrer todos los nodos y leer sus tablas; el rechazo anticipado ahorra trabajo de una ronda fallida, pero no aumenta la probabilidad de aceptación.

Con rondas independientes correctas y P(e)>0, el cociente converge a la posterior al crecer N. Para combinar bloques sumamos sus contadores antes de dividir; no promediamos sin pesos proporciones de bloques con cantidades distintas de aceptadas.

Si Nₑ=0, el bloque no permite estimar por ese cociente. Puede ser mala suerte con evidencia posible o evidencia imposible: el bloque solo no distingue ambas causas. Si Nq, e=0 pero Nₑ>0, la estimación sí es cero, sin demostrar que la probabilidad exacta lo sea.

La enumeración dio 0,80. Aquí generaremos casos y estimaremos esa misma consulta; los datos de la raíz y de M no cambian.

Algunos textos llaman muestreo lógico a la generación ancestral y distinguen el rechazo como paso posterior. Usaremos nombres acompañados de la operación: sortear toda la conjunta y conservar la evidencia.

Un uniforme permite producir un estado con la frecuencia indicada; su valor concreto no se multiplica después por ese estado.

Los uniformes de la tabla final son una secuencia didáctica fijada para repetir cuentas. Una ejecución estadística debe usar sorteos independientes adecuados; una secuencia elegida por nosotros no prueba convergencia.

L se genera primero. Si vale Sí, el umbral de M es 0,80; si vale No, es 0,20.

Una ronda usa los padres de esa ronda. No reutilizamos por comodidad la fila del intento anterior. Antes de comparar uM escribimos el estado de L y el umbral elegido.

Con ese padre, la fila de M tiene umbral 0,80. uM=0,10<0,80, por tanto M=Sí.

Se acepta por la evidencia y además cumple la consulta de lluvia. Suma uno al denominador y uno al numerador. No suma 0,80 ni 0,40: ya fue generada con la ley del modelo.

Se acepta porque el suelo está mojado.

Suma una unidad al denominador y nada al numerador de lluvia. Rechazarla por tener L=No equivaldría a filtrar también por la consulta, alterando la posterior.

En la 7 sí llueve, pero uM=0,90 supera 0,80 y también falla la evidencia. Los estados generados de L no bastan para decidir aceptación.

La tabla completa conserva todos los uniformes para que cualquier decisión se pueda repetir.

Aceptamos 1,2,3,5 y 10: cinco rondas.

La estimación es 3/5=0,60, distinta de la respuesta exacta 0,80 porque esta secuencia es finita.

3/10 estimaría la conjunta de lluvia y mojado. Los cinco L=Sí entre diez estimarían la marginal de lluvia. Ninguno sustituye el denominador condicionado que pide nuestra pregunta.