Fracciones algebraicas y restricciones

En 6/x, el numerador seis se divide entre la cantidad x. Para x = 2 obtenemos tres; para x = −3, menos dos.

Escribimos x ≠ 0 junto a la expresión para conservar la condición.

En 4/(x − 2), no basta decir que x es distinto de cero. Hay que revisar el denominador completo: x − 2 se anula en x = 2, así que ese es el dato excluido. Si hay varios denominadores, reunimos las exclusiones de todos los que aparecen en la cuenta original.

Las letras se leen como factores: x²/x = (x · x)/x = x para x distinto de cero.

Si hay polinomios, primero buscamos sus factores. En (x² − 9)/(x − 3), factorizamos el numerador como (x − 3)(x + 3). Ahora sí se ve un factor completo repetido arriba y abajo. Podemos dividir ambos por x − 3 únicamente cuando x ≠ 3: queda x + 3 con esa misma restricción.

(x + 4)/x no se simplifica a cuatro ni a cinco tachando x. La x del numerador es un sumando, no un factor que multiplique a toda la suma. Podemos separar la división como x/x + 4/x = 1 + 4/x, siempre con x ≠ 0.

En cambio, x(x + 4)/x sí tiene el factor x en todo el numerador y se simplifica a x + 4 para x ≠ 0. La diferencia está en la estructura, no en que las letras se parezcan o estén escritas una encima de otra. Los paréntesis ayudan a verla.

Para multiplicar fracciones, multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Antes o después podemos simplificar factores comunes, conservando todas las restricciones originales. Por ejemplo, [(x − 1)/x] · [x/(x + 2)] queda (x − 1)/(x + 2), pero sigue exigiendo x ≠ 0 y x ≠ −2.

Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su recíproco, siempre que la fracción divisora esté definida y no valga cero. Por eso revisamos también su numerador: si se anula mientras su denominador está permitido, estaríamos dividiendo entre cero.

1/x + 2/x reúne una y dos unidades del mismo tamaño 1/x: queda 3/x, con x ≠ 0. No sumamos denominadores: dos fracciones con el mismo divisor se suman conservando ese divisor.

Para 1/x + 1/(3x), los denominadores no coinciden. Escribimos 1/x = 3/(3x), multiplicando arriba y abajo por tres.

Solo estamos cambiando la escritura de cada sumando para que compartan denominador.

Para 1/x + 1/(x + 1), podemos usar x(x + 1). La primera necesita el factor x + 1 y la segunda el factor x.

En una resta escribimos paréntesis alrededor del numerador que se resta. Por ejemplo, 3/(x − 1) − 2/(x + 1) tiene numerador común 3(x + 1) − 2(x − 1).

El último dos es positivo porque se resta todo el segundo producto.

Si los denominadores comparten factores, no es necesario multiplicar dos veces lo repetido. Para x y x², basta x². Elegimos un denominador que contenga cada factor con la mayor potencia necesaria; después completamos cada numerador con lo mismo que añadimos abajo.

(x² − 9)/(x − 3) y x + 3 dan el mismo valor para cualquier x distinto de tres. Pero la fracción original no existe en tres, mientras el polinomio x + 3 sí vale seis allí. Sus dominios no son iguales si escribimos el polinomio sin restricciones.

Una simplificación conserva el problema original al presentar el resultado con su exclusión: x + 3, para x ≠ 3. No podemos volver a introducir el dato eliminado con el argumento de que «ahora ya no hay denominador». El dominio se revisó antes de transformar.

Primero anotamos restricciones originales y, si hay división, los valores que anulan el divisor. Después factorizamos cuando ayude a ver productos o a construir un denominador común. Hacemos la operación indicada y solo cancelamos factores completos no nulos.

Al terminar, simplificamos lo que quede y copiamos todas las restricciones. Para comprobar podemos sustituir un valor permitido en la cuenta original y en el resultado. Si difieren, revisamos signos, factores y denominadores; una coincidencia aislada no sustituye el razonamiento algebraico.