Determinantes y sus propiedades

Una matriz n×n tiene el mismo número de filas y columnas. Su determinante se escribe det A o |A|; en este contexto las barras no significan valor absoluto de cada casilla. El resultado es un único número, no otra matriz.

En órdenes mayores usaremos reglas que combinan sus entradas con productos y restas. El determinante usual no se define para matrices rectangulares. Un cero en la respuesta significa pérdida de alguna dirección, no que todas las entradas sean cero.

Multiplicamos la diagonal principal a·d y restamos la otra b·c. El orden de la resta importa y un signo negativo dentro de un producto debe conservarse con paréntesis.

Las columnas (a,c) y (b,d) forman dos vectores del plano. El valor absoluto |ad−bc| es el área de su paralelogramo. El signo indica orientación respecto al orden de las columnas: intercambiarlas invierte esa orientación. El triángulo formado por esos dos vectores tiene la mitad del área.

Para la casilla (i,j), borramos su fila i y su columna j. El determinante de la tabla que queda es el menor Mᵢⱼ. El cofactor Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ añade el signo del tablero: positivo si i+j es par y negativo si es impar.

La expansión de Laplace calcula det A sumando entrada por cofactor a lo largo de una fila o columna completa. Por la fila i: aᵢ₁Cᵢ₁+…+aᵢₙCᵢₙ. En una fila con ceros podemos omitir sus términos, porque cero por cualquier cofactor da cero. Repetimos en tablas menores hasta llegar a orden dos o uno.

Para filas (a,b,c),(d,e,f),(g,h,i), Sarrus da aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh. Hay tres productos positivos y tres negativos. Cada producto toma exactamente una entrada de cada fila y de cada columna.

En orden tres hay 3·2·1=6 elecciones posibles de columnas distintas, una para cada fila. En orden cuatro serían 4·3·2·1=24: prolongar diagonales como en Sarrus ya no recoge todas ni sus signos. Para esos órdenes usamos cofactores o eliminación.

Intercambiar dos filas cambia el signo. Multiplicar una fila por λ multiplica el determinante por λ. Sumar a una fila un múltiplo de otra conserva el determinante. Las mismas reglas valen para columnas. Conviene anotar qué operación hemos hecho y su efecto.

Una fila nula o dos filas iguales o proporcionales hacen el determinante cero. Multiplicar toda una matriz n×n por λ escala sus n filas: det(λA)=λⁿdet A. No es lo mismo cambiar una sola fila que multiplicar toda la tabla.

En una matriz triangular, el determinante es el producto de su diagonal principal. Las demás elecciones completas de entradas encuentran necesariamente un cero. Esta propiedad funciona tanto para triangular superior como inferior.

La eliminación crea ceros debajo de pivotes usando sumas de múltiplos de filas. Si solo usamos esas sumas, el determinante se conserva. Si intercambiamos o escalamos, registramos su efecto para recuperar el determinante original. Una fila nula ya permite concluir cero.

Para matrices cuadradas del mismo orden, det(AB)=det A·det B.

En cambio det(A+B) no suele ser det A+det B. El determinante es lineal al cambiar una fila dejando las otras fijas, pero no es lineal al cambiar toda la matriz de una vez. La multiplicación de determinantes también concuerda con aplicar sucesivamente factores de área o volumen.

En orden n, det A≠0 equivale a rango n, columnas independientes e inversa de dos lados. En el plano conserva dos direcciones; en el espacio, tres. El valor absoluto es el factor de área o volumen, y el signo registra orientación.

Si det A=0, solo sabemos que falta al menos una dirección. El rango puede ser n−1 o mucho menor. Un valor pequeño tampoco significa exactamente cero: con cuentas exactas distinguimos ambas cosas; con datos aproximados se necesita estudiar escala y error numérico.