Racionalizar significa buscar otra escritura exacta de una fracción para que su denominador no contenga los radicales que queremos eliminar. La cantidad no cambia: multiplicaremos por una forma de escribir uno y veremos por qué funciona.
Si necesitas repasar:
1. Multiplicar numerador y denominador por lo mismo conserva la fracción
Racionalizar elige K para que el denominador se convierta en una expresión sin esos radicales.
Una raíz en el denominador puede ser una escritura exacta y válida. Racionalizar puede facilitar una operación o dar la forma solicitada, pero no aproxima el número ni lo hace automáticamente más pequeño. Primero simplificamos lo que ya sea evidente.
Una fracción equivalente empieza multiplicando por uno
Transformar 2/3 con K=5.
Uno
5/5=1.Multiplicar
(2/3)(5/5)=10/15.Valor
10/15 sigue siendo 2/3.
La misma idea se usará con un radical como K.
Multiplicar solo arriba daría 10/3 y cambiaría el valor.
No hay que racionalizar una raíz que ya es exacta
Calcular 6/(√9+1).
Evaluar
√9=3.Denominador
3+1=4.Reducir
6/4=3/2.
Simplificar primero ahorra una transformación.
El resultado por el denominador cuatro devuelve seis.
2. Con una sola raíz cuadrada repetimos esa raíz
Por eso multiplicar por √a/√a elimina esa raíz del denominador.
El radicando de una raíz cuadrada situada en denominador debe ser positivo, no solo no negativo. A veces simplificar radicales antes deja una cuenta más corta.
Conservar el coeficiente exterior
Racionalizar 1/(2√3).
Factor
Multiplicamos por √3/√3.
Denominador
2√3·√3=2·3=6.Resultado
√3/6.
El 2 no se pierde al eliminar la raíz.
(√3/6)(2√3)=1.
Simplificar antes de completar el cuadrado
Racionalizar 3/√12.
Simplificar
√12=2√3.Multiplicar
3√3/(2·3).
Reducir
√3/2.
Los factores 3 se cancelan después de tener un producto completo.
(√3/2)√12=(√3/2)2√3=3.
3. El conjugado cancela los productos cruzados
El conjugado algebraico de A−B es A+B, y el de A+B es A−B.
Los términos +AB y −AB se cancelan.
Si A y B son raíces cuadradas de racionales, sus cuadrados dejan un denominador racional. Se multiplica todo el numerador por el conjugado, conservando paréntesis; no se trata solo de cambiar un signo en la fracción inicial.
Una diferencia que deja un factor simplificable
Racionalizar 3/(√7−2).
Conjugado
Multiplicamos arriba y abajo por √7+2.
Denominador
7−4=3; queda 3(√7+2)/3.Reducir
√7+2.
Se cancela el factor exterior 3.
(√7+2)(√7−2)=3.
Con una suma cambiamos a una diferencia
Racionalizar 4/(√7+√3).
Conjugado
√7−√3, que no es cero.
Denominador
7−3=4.Reducir
4(√7−√3)/4=√7−√3.
El resultado sigue siendo positivo.
Su producto con √7+√3 es cuatro.
4. El factor añadido también puede crear una restricción
Con variables, el conjugado puede anularse donde la fracción original sí existía. Hay que revisar ese punto antes de anunciar una identidad en todo el dominio.
La forma (√x−2)/(x−4) coincide para x≥0,x≠4; para describir la función original completa conservamos además su valor 1/4 en cuatro.
Una racionalización que falla en un punto permitido
Usar el conjugado de √x+2.
Original en cuatro
1/(√4+2)=1/4.Factor añadido
√4−2=0: no podemos multiplicar por 0/0.Alcance
La nueva fracción coincide fuera de cuatro, que se evalúa por separado.
No se borra una entrada válida de la función original.
La exclusión nueva pertenece a la fórmula transformada.
Un conjugado que no añade otro cero
Racionalizar 1/(√x−2).
Dominio original
x≥0 y x≠4.Conjugado
√x+2>0 para todo x≥0.Resultado
(√x+2)/(x−4), con las mismas restricciones originales.
Aquí el factor añadido es siempre no nulo en el dominio.
x=4 ya estaba excluido antes de transformar.
5. Para índices mayores completamos una potencia entera
Con radicandos positivos, en una raíz de índice n buscamos que los exponentes del producto sean múltiplos de n. Por ejemplo, a una potencia m con 0<m<n le faltan n−m para completar n.
Con variables de signo desconocido, una raíz par de aⁿ da |a|, no siempre a. Una raíz impar de aⁿ sí devuelve a. Se mantienen tanto las condiciones de las raíces como los factores no nulos del denominador.
Una raíz cuarta necesita completar cuatro factores
Racionalizar 1/⁴√8.
Potencia
8=2³; falta un factor 2 para llegar a 2⁴.Multiplicar
⁴√2 arriba y abajo.
Resultado
⁴√2/2, porque ⁴√16=2.
El índice determina cuántos factores necesitamos.
⁴√2·⁴√8/2=⁴√16/2=1.
El signo de una variable no desaparece con una raíz par
Transformar 1/√(x²), x≠0.
Raíz principal
√(x²)=|x|.Racionalizar
Multiplicar por |x|/|x| da |x|/x².
Control
Para x=−2, ambas formas valen 1/2, no −1/2.
No se reemplaza la raíz por x sin condición de signo.
El denominador original ya excluía x=0.
6. Para raíces cúbicas de binomios hacen falta tres términos
Si hay A−B con raíces cúbicas, usamos A²+AB+B²: el producto es A³−B³. Para A+B usamos A²−AB+B² y obtenemos A³+B³.
Los términos intermedios se cancelan al distribuir. No todos los radicales se eliminan con un único binomio conjugado de dos términos.
Una diferencia de raíces cúbicas
Racionalizar 1/(∛3−1).
Bloques
A=∛3 y B=1.Factor
A²+A+1=∛9+∛3+1.Denominador
A³−1=3−1=2: resultado (∛9+∛3+1)/2.
El factor de tres términos es no nulo.
Multiplicarlo por A−1 da A³−1 exactamente.
Una suma usa el signo intermedio contrario
Racionalizar 1/(∛2+1).
Bloque
A=∛2.Factor
A²−A+1.
Resultado
(∛4−∛2+1)/3, porque A³+1=3.
Cambiar solo el signo del binomio no eliminaría la cúbica.
A²−A+1=(A−1/2)²+3/4>0.
7. Solo cancelamos factores completos y conservamos los huecos originales
Después de racionalizar buscamos factores comunes de productos completos. No se borran términos de una suma por aparecer también en el denominador. Los paréntesis permiten ver qué multiplica a todo el numerador.
Si una simplificación elimina un factor que anulaba el denominador original, la exclusión sigue vigente. Una extensión continua puede tener un valor allí, pero ya sería una función definida también en un punto antes prohibido.
El denominador no divide solo un sumando
Simplificar (2+√3)/2.
Separar
2/2+√3/2.
Resultado
1+√3/2.
Evitar error
No es 1+√3: el segundo sumando también está dividido entre dos.
El 2 no era factor de todo el numerador escrito así.
Multiplicar el resultado por dos recupera 2+√3.
La fórmula más corta conserva la exclusión
Simplificar (√x−3)/(x−9).
Dominio
x≥0 y x≠9.Factorizar
x−9=(√x−3)(√x+3).Cancelar
1/(√x+3), todavía con x≠9.
La original sigue sin valor en nueve.
La fórmula extendida daría 1/6 allí, pero ese punto no se añade al simplificar.
8. Comprobamos por multiplicación exacta y elegimos una forma útil
Multiplicamos el resultado por el denominador original y debemos recuperar el numerador dentro del dominio. Esta verificación exacta es más fuerte que comparar unos decimales.
Si se exige denominador racional, además revisamos esa forma. Puede haber muchas escrituras exactas válidas de la misma cantidad. El objetivo de la transformación guía cuál conviene presentar.
Dos formas exactas del mismo número
Comparar 1/√2 con √2/2.
Transformar
Multiplicar la primera por √2/√2.
Producto
Abajo queda dos y arriba √2.
Revisar
(√2/2)√2=1.
La segunda tiene denominador racional y el mismo valor.
Que un decimal esté cerca no sería una demostración por sí solo.
Una cúbica negativa conserva su signo
Racionalizar 1/∛(−2).
Factor
Multiplicamos por ∛4 arriba y abajo.
Denominador
∛(−8)=−2.Resultado
−∛4/2.
La raíz de índice impar admite el radicando negativo.
(−∛4/2)∛(−2)=−∛(−8)/2=1.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una diferencia
Racionaliza 4/(√5−1).
Conjugado
Para √5−1 usamos √5+1.
Uno
Multiplicamos por (√5+1)/(√5+1), factor no nulo.
Numerador
4(√5+1).
Denominador
(√5−1)(√5+1)=5−1=4.Reducir
√5+1.
Comprobar
(√5+1)(√5−1)=4, numerador original.
√5+1.
(√5+1)(√5−1)=4.
EJEMPLO RESUELTO 2
Raíz cúbica
Racionaliza 1/∛2.
Índice
En 1/∛2 falta completar un cubo.
Factor
2·4=8=2³: usamos ∛4.Uno
Multiplicamos arriba y abajo por ∛4, que no es cero.
Denominador
∛2·∛4=∛8=2.Resultado
∛4/2.
Comprobar
(∛4/2)∛2=∛8/2=1.
∛4/2.
El producto del resultado por ∛2 es ∛8/2=1.
Los símbolos que hemos usado
- N/D
- Fracción original, con denominador D≠0.
- Factor racionalizante
- Expresión no nula que elimina el radical al multiplicar el denominador.
- Conjugado algebraico
- Binomio obtenido cambiando el signo entre dos términos.
- A²−B²
- Diferencia de cuadrados, producto de A−B y A+B.
- ⁿ√a
- Raíz de índice n, con las condiciones reales correspondientes.
- Dominio original
- Conjunto de entradas donde la fracción inicial está definida.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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