Regla de Ruffini y teorema del resto

P es el dividendo; D, el divisor no nulo; Q, el cociente; R, el resto. El resto tiene grado menor que el divisor, salvo si es cero. Para un divisor lineal, el resto es una constante.

Un resto no nulo no significa que la división esté mal. Indica lo que hay que añadir al producto para recuperar P. Esta es una identidad de expresiones; para dividir sus valores numéricos entre D(x) habría que excluir además los puntos donde D(x)=0.

Para x−r colocamos r en la tabla: x−2 usa 2, y x+2 usa −2 porque x+2=x−(−2). Es el valor que hace cero el divisor, no la constante copiada con su signo.

Ordenamos desde la potencia mayor hasta la constante. Cada potencia necesita su casilla. Si no aparece x² en un polinomio cúbico, ponemos un cero en esa posición; si una x aparece sin coeficiente escrito, su coeficiente es uno.

Bajamos el primer coeficiente. Multiplicamos ese resultado por r y lo sumamos al coeficiente siguiente. Repetimos con el nuevo resultado hasta alcanzar la constante. Cada paso usa el resultado recién obtenido.

La última casilla es el resto. Las anteriores son los coeficientes de Q, empezando en un grado menos que P cuando P es no constante. No añadimos la casilla del resto como si fuera otro coeficiente del cociente.

Si P empieza por ax³, Q debe empezar por ax² para que x·ax² produzca ax³. Pero multiplicar (x−r) por ax² también genera −ra x². Para obtener el coeficiente b de x² en P necesitamos poner b+ra como siguiente coeficiente de Q.

Ese nuevo término vuelve a generar una contribución negativa en el grado siguiente. Compensarla exige otra suma con r por el resultado anterior. La tabla repite esa compensación hasta que solo queda una constante por ajustar.

Es el teorema del resto; permite hallar R sin calcular todo Q.

Si un coeficiente es desconocido, se impone P(r)=resto pedido y se resuelve para ese coeficiente. Evaluar verifica el resto, pero por sí solo no revisa si todos los coeficientes escritos para Q son correctos.

Entonces P=(x−r)Q y x−r es un factor. r es una raíz, que es un número; x−r es un factor, que es una expresión. Al seguir factorizando usamos los coeficientes de Q, sin copiar su resto.

Si el mismo r vuelve a dejar resto cero en Q, aparece otra copia del factor. Esa cantidad de divisiones exactas seguidas es la multiplicidad. No se obliga a repetirlo: se comprueba; puede fallar ya en la segunda división.

Hacemos Ruffini con r=b/a sobre el divisor mónico x−r.

El resto sigue siendo P(r), pero el cociente se divide entre a.

El esquema básico no divide directamente entre x²+1: un divisor cuadrático puede dejar resto lineal y exige división general. Si P es constante y D lineal, Q=0 y R=P; no hay un grado positivo que bajar.

Reconstruimos DQ+R y comparamos todos los coeficientes, incluidos los ceros. Además evaluamos en r para controlar el resto. Estos dos controles aportan información distinta.

Para un divisor mónico lineal y P no constante, Q baja un grado y conserva el coeficiente principal de P. Si buscamos raíces racionales de un polinomio entero, probamos candidatos justificados por sus coeficientes; Ruffini no asegura que todos los polinomios tengan raíces enteras.