Fracciones mixtas y fracciones impropias

Dividimos cada unidad en cuatro partes iguales: cada parte es un cuarto. Un numerador 11 cuenta once de esos cuartos. Como una unidad contiene cuatro, una sola unidad no basta para representar todos los trozos.

Las unidades del dibujo tienen el mismo tamaño. Una fracción impropia, con numerador al menos tan grande como el denominador positivo, no está mal: expresa una cantidad de una unidad o más. No se comparan trozos de unidades diferentes sin fijar una referencia común.

Para n≥0 y d>0 enteros, hacemos n=qd+r con 0≤r<d. q es el cociente: unidades completas. r es el resto: partes que quedan.

Dividir entre d da .

Si n<d, el cociente es cero y normalmente se deja la fracción propia sin escribir «cero enteros». El denominador original conserva el tamaño de las partes.

La escritura 2 3/4 significa 2+3/4. Las dos unidades equivalen a ocho cuartos y sumamos otros tres: once cuartos. Para q unidades y r/d, el numerador total es qd+r.

En general .

No usamos (q+r)/d porque q cuenta unidades y r cuenta trozos. En álgebra conviene escribir la suma explícita para evitar confundir esta convención con una multiplicación.

En un mixto habitual, la parte fraccionaria queda entre cero y uno y puede reducirse por el MCD. Dividir su numerador y denominador por el mismo factor no cambia la parte entera.

Una suma como 2+5/4 tiene sentido y es exacta, pero la fracción todavía contiene una unidad completa. Para normalizarla se extrae esa unidad y se añade al entero. No se cambia el valor por querer presentar una forma más clara.

Así queda claro que tanto las unidades como la fracción forman la cantidad negativa. Su fracción única es −(qd+r)/d.

No es lo mismo −q+r/d: ahí se añadiría la fracción al entero negativo. Tampoco confundimos el entero de la magnitud mixta con la función suelo, que busca el mayor entero menor o igual que el número.

Una ruta general transforma cada mixto en fracción, usa un denominador común, suma o resta y vuelve a mixto si conviene. Se conservan los signos de toda la cantidad. Los denominadores no se suman porque indican el tamaño de las partes.

También se pueden operar enteros y fracciones por separado si se reagrupa correctamente. Cuando falta cantidad fraccionaria en una resta, una unidad se escribe como d/d. Esa unidad no se añade: se toma de la parte entera y se conserva el total.

Convertir a impropias facilita el producto. Si se mantienen las dos sumas, la distributiva produce cuatro términos: entero por entero, dos cruzados y fracción por fracción. Multiplicar solo partes del mismo tipo pierde los cruzados.

Dar la vuelta a una fracción no nula a/b produce su recíproco b/a. Dividir por esa cantidad equivale a multiplicar por su recíproco. Primero se convierte todo el mixto; no se invierten por separado entero y fracción. Para comparar positivos normalizados se miran enteros y después fracciones; con negativos se invierte el orden de las magnitudes.

El mixto hace visible entre qué enteros está una cantidad positiva; la impropia facilita cuentas. Ambas son igual de exactas. Un decimal redondeado puede servir para estimar, pero no sustituye una igualdad fraccionaria.

En aplicaciones se mantienen unidades compatibles. Comparar también ofrece un control: un resultado debe tener el signo y el tamaño que dicta el problema.