Escribir 4 800 000 y 0,0048 ocupa espacios muy distintos, aunque ambos contienen las cifras cuatro y ocho. La notación científica separa esas cifras de su escala mediante una potencia de diez. Antes de mover ninguna coma, veremos qué multiplica y qué divide cada potencia.
Si necesitas repasar:
1. El coeficiente da las cifras y la potencia fija la escala
El número 4,8 es el coeficiente y 10⁶ es el factor de escala. No se suman: se multiplican. La misma idea permite escribir 0,0048 = 4,8 · 10⁻³, como muestra el dibujo.
Para un número no nulo, la forma científica normalizada es a · 10ⁿ, con n entero y 1 ≤ |a| < 10. |a| significa el valor absoluto del coeficiente. Si el número es positivo, a está entre uno incluido y diez excluido; si es negativo, el signo permanece en a.
Cero no tiene una forma normalizada con esa condición y se escribe simplemente cero.
Leer las dos partes
En 6,2 · 10⁴, ¿qué significa cada factor?
Leemos el coeficiente
6,2 contiene las cifras principales.
Leemos la potencia
10⁴ = 10 000.Reconstruimos
6,2 · 10 000 = 62 000.
Representa 62 000. Coeficiente: 6,2; escala: 10⁴.
El exponente cuatro no significa multiplicar 6,2 por cuatro.
Un número negativo
¿−3,5 · 10² está en forma científica normalizada?
Comprobamos la escala
El exponente dos es entero.
Comprobamos el tamaño del coeficiente
|−3,5| = 3,5, entre uno y diez.Leemos el signo
El número representado es −350.
Sí; representa −350.
El signo negativo del número no requiere un exponente negativo.
2. Una potencia negativa divide por una potencia positiva
Multiplicar por ellas hace cien o mil veces mayor una cantidad positiva.
El exponente negativo no convierte el número en negativo.
Cada cambio de una unidad en el exponente cambia el factor de escala por diez. Esta relación explica por qué al convertir se desplaza la posición decimal.
| Potencia | Factor decimal |
|---|---|
| 10³ | 1000 |
| 10¹ | 10 |
| 10⁰ | 1 |
| 10⁻¹ | 0,1 |
| 10⁻³ | 0,001 |
Volver a escritura decimal
Escribe 7,3 · 10⁻² como decimal.
Interpretamos la potencia
10⁻² = 1/100.Dividimos el coeficiente entre cien
7,3/100 = 0,073.
El número es 0,073.
Multiplicar 0,073 por cien recupera el coeficiente 7,3.
El caso que no crece ni disminuye
Escribe 4,6 en notación científica.
Revisamos el coeficiente
4,6 ya está entre uno y diez.
Elegimos el factor que no cambia nada
10⁰ = 1.
4,6 = 4,6 · 10⁰.
Los números entre uno y diez no necesitan un exponente positivo: el exponente es cero.
3. Elegimos el coeficiente y compensamos para conservar el número
Para 52 000 elegimos coeficiente 5,2. Ese coeficiente es diez mil veces menor que el número original; por eso lo multiplicamos por 10⁴: 52 000 = 5,2 · 10⁴. Para 0,0062 elegimos 6,2 y compensamos dividiendo entre mil: 6,2 · 10⁻³.
A veces la cuenta produce una forma equivalente que aún no está normalizada. 45 · 10³ = 4,5 · 10⁴: al dividir el coeficiente entre diez, multiplicamos la escala por diez. En 0,45 · 10³ hacemos lo contrario: 4,5 · 10². Comprobamos el producto para no elegir el signo del exponente por memoria.
Una cantidad pequeña nueva
Convierte 0,00036 a notación científica.
Elegimos el coeficiente
3,6.
Buscamos cómo volver al número original
3,6 dividido entre 10 000 es 0,00036.
Escribimos la potencia
3,6 · 10⁻⁴.
0,00036 = 3,6 · 10⁻⁴.
3,6 · 0,0001 = 0,00036 confirma la escala.
Normalizar después de operar
Normaliza 72 · 10⁻⁵.
Ajustamos el coeficiente
72 = 7,2 · 10.Combinamos escalas
7,2 · 10 · 10⁻⁵ = 7,2 · 10⁻⁴.
Queda 7,2 · 10⁻⁴.
El coeficiente se hizo diez veces menor; aumentar uno el exponente conserva el producto.
4. En productos y cocientes operamos cifras y escalas por separado
Las potencias tienen la misma base diez, así que sus exponentes se suman al multiplicar. Después comprobamos que el coeficiente esté normalizado.
Esta resta cuenta los factores diez que se cancelan. El divisor completo debe ser distinto de cero. Si el coeficiente sale diez o más, o menor que uno en valor absoluto, normalizamos al final.
Producto que necesita normalizar
Calcula (4 · 10³)(5 · 10⁻²).
Multiplicamos coeficientes
4 · 5 = 20.Combinamos potencias
10³ · 10⁻² = 10¹.Normalizamos
20 · 10¹ = 2 · 10².
El resultado es 2 · 10².
En decimal: 4000 · 0,05 = 200.
Cociente con exponente negativo
Calcula (8 · 10⁻³)/(2 · 10²).
Dividimos coeficientes
8/2 = 4.Restamos exponentes
−3 − 2 = −5.Escribimos el resultado
4 · 10⁻⁵.
El resultado es 4 · 10⁻⁵.
Dividir una cantidad pequeña entre doscientos la hace aún menor, coherente con el exponente.
5. Para sumar o restar expresamos ambos números con la misma escala
3 · 10⁴ + 2 · 10³ no es 5 · 10⁷. La regla de sumar exponentes era para un producto. Aquí podemos escribir 2 · 10³ = 0,2 · 10⁴ y sumar coeficientes de una misma escala: (3 + 0,2) · 10⁴ = 3,2 · 10⁴.
Es como sumar unidades compatibles: antes de reunir los coeficientes necesitamos que multipliquen a la misma potencia. También podríamos usar 10³ y escribir (30 + 2) · 10³ = 32 · 10³, normalizando después. Ambos caminos conservan el número.
Sumandos con exponentes diferentes
Suma 5 · 10⁵ + 7 · 10⁴.
Usamos la escala 10⁵
7 · 10⁴ = 0,7 · 10⁵.Sumamos coeficientes
(5 + 0,7) · 10⁵ = 5,7 · 10⁵.
El resultado es 5,7 · 10⁵.
500 000 + 70 000 = 570 000 confirma la suma.
Una resta de cantidades pequeñas
Calcula 4 · 10⁻³ − 6 · 10⁻⁴.
Igualamos la escala
6 · 10⁻⁴ = 0,6 · 10⁻³.Restamos coeficientes
(4 − 0,6) · 10⁻³ = 3,4 · 10⁻³.
El resultado es 3,4 · 10⁻³.
0,004 − 0,0006 = 0,0034. El signo de resta no cambia la regla de la escala común.
6. Comparar tamaños requiere la misma unidad y una escala clara
Para números positivos normalizados, un exponente mayor significa un número mayor: 1,1 · 10⁵ supera 9 · 10⁴. Si los exponentes son iguales, comparamos coeficientes. Para negativos, distinguimos magnitud de orden: −500 tiene mayor valor absoluto que −20, pero es un número menor.
Para saber cuántas veces es mayor una cantidad que otra, dividimos, no restamos. Antes convertimos sus unidades si representan la misma magnitud. Un valor expresado en kilómetros no se compara numéricamente con otro en metros sin hacer esa conversión.
Coeficiente más pequeño, número mayor
Compara 2 · 10⁶ y 8 · 10⁵.
Usamos una misma escala
2 · 10⁶ = 20 · 10⁵.Comparamos coeficientes
20 es mayor que ocho.
2 · 10⁶ es mayor.
Mirar solo dos frente a ocho habría ignorado la escala.
Cuántas veces, no cuánto se diferencia
¿Cuántas veces es 6 · 10⁵ mayor que 2 · 10³?
Dividimos coeficientes
6/2 = 3.Dividimos escalas
10⁵/10³ = 10².Interpretamos el factor
3 · 10² = 300.
Es 300 veces mayor.
La diferencia de exponentes da cien como factor de escala, pero también interviene el cociente tres de los coeficientes.
7. Indicamos qué significa aquí «orden de magnitud»
En esta lección llamaremos orden decimal a la potencia 10ⁿ que marca el intervalo 10ⁿ ≤ |N| < 10ⁿ⁺¹. Con esa convención, 8 · 10⁵ pertenece al orden 10⁵: está entre 100 000 y 1 000 000. No afirmamos que 100 000 sea su valor exacto.
También se usa «orden de magnitud» para la potencia de diez más cercana en escala logarítmica. Esa otra convención cambia a la potencia siguiente cuando el coeficiente supera √10 ≈ 3,16; por ella, 8 · 10⁵ se asociaría a 10⁶. Para evitar respuestas aparentemente contradictorias, siempre declaramos la convención.
Estas etiquetas dependen de la unidad elegida.
Usar el intervalo declarado
Halla el orden decimal de 2,7 · 10⁻⁴ según nuestra convención.
Leemos el exponente normalizado
Es −4.
Comprobamos el intervalo
10⁻⁴ ≤ 2,7 · 10⁻⁴ < 10⁻³.
Su orden decimal es 10⁻⁴.
El dato está entre 0,0001 y 0,001.
Cambiar la unidad cambia la escritura
Una distancia es 3 km. Escríbela en metros y compara su exponente normalizado.
Convertimos la unidad
3 km = 3000 m.Escribimos ambas formas
3 · 10⁰ km = 3 · 10³ m.
El exponente es cero en km y tres en m.
No cambió la distancia: cambió el tamaño de la unidad con la que contamos.
8. Cambiar la notación no redondea; redondear sí cambia el valor
La notación científica por sí sola no obliga a eliminar cifras: permite guardar las que necesitamos.
En datos medidos, los ceros finales pueden comunicar precisión: 3,40 · 10² muestra tres cifras significativas, mientras 3,4 · 10² muestra dos. Como números son iguales a 340; la diferencia está en la información de medida que se comunica. Sin un contexto de medición no inventamos una precisión a partir de la escritura de un entero.
Igualdad o aproximación
Compara 0,000852 con 8,52 · 10⁻⁴ y con 8,5 · 10⁻⁴.
Reconstruimos la primera forma
8,52/10 000 = 0,000852: es exacta.Reconstruimos la segunda
8,5/10 000 = 0,00085: está redondeada.
0,000852 = 8,52 · 10⁻⁴ y 0,000852 ≈ 8,5 · 10⁻⁴.
Las dos últimas cifras eliminadas no desaparecen por cambiar de notación, sino por decidir aproximar.
Mantener la unidad del problema
Una masa se escribe 4,20 · 10³ g. Exprésala en kg conservando las tres cifras significativas indicadas.
Convertimos gramos a kilogramos
1000 g = 1 kg.Dividimos el número por mil
4200 g = 4,20 kg.
La masa es 4,20 kg.
El cero final conserva la precisión comunicada por el dato, aunque 4,20 y 4,2 sean el mismo número.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Cantidad pequeña
Escribe 0,00072 en notación científica.
Elegimos el coeficiente normalizado
Las cifras forman 7,2, entre uno y diez.
Buscamos la escala que reconstruye el dato
7,2 dividido entre 10 000 da 0,00072.
Escribimos la potencia correspondiente
Dividir entre 10 000 equivale a multiplicar por 10⁻⁴.
Presentamos y comprobamos
7,2 · 10⁻⁴ = 7,2 · 0,0001 = 0,00072.
7,2·10⁻⁴.
7,2/10000=0,00072.
EJEMPLO RESUELTO 2
Multiplicar escalas
Calcula (3·10⁵)·(4·10⁻²).
Separamos coeficientes y escalas
(3 · 4)(10⁵ · 10⁻²).
Multiplicamos los coeficientes
3 · 4 = 12.Sumamos exponentes por ser un producto
5 + (−2) = 3; queda 12 · 10³.Normalizamos
12 = 1,2 · 10, así que 12 · 10³ = 1,2 · 10⁴.Respondemos
El resultado es 1,2 · 10⁴, equivalente a 12 000.
1,2·10⁴.
300000·0,04=12000.
Los símbolos que hemos usado
- x=a·10ⁿ
- Notación científica de un número no nulo; a es el coeficiente y n un entero.
- a
- Coeficiente normalizado, con 1≤|a|<10; para cantidades positivas, 1≤a<10.
- n
- Exponente: escala decimal que multiplica al coeficiente.
- 10⁻ⁿ
- Recíproco de 10ⁿ: dividir por esa potencia de diez.
- |a|
- Magnitud de a, sin su signo.
- ≈
- Aproximadamente igual: se ha introducido una aproximación.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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