Potencias con exponentes enteros

Una cantidad se triplica dos veces seguidas: primero se multiplica por 3 y después otra vez por 3.

Cada paso nuevo añade un factor, no una suma de tres.

En aⁿ, la base a es el número que se repite y el exponente n cuenta las repeticiones cuando n es entero positivo. La letra n representa cuántos factores hay; la a, el valor de cada factor.

No es 4·3.

Con base cero y exponente positivo el resultado es cero. Para números positivos, el cuadrado también representa el área de un cuadrado de ese lado y el cubo el volumen de un cubo de esa arista; las unidades cambian a unidades cuadradas o cúbicas.

En (−2)⁴, la base completa es −2. Se repiten cuatro factores negativos. Podemos agruparlos en dos parejas: cada pareja da positivo y el resultado es 16. En (−2)⁵ queda un factor negativo sin pareja, y el resultado es −32.

Para exponentes positivos pares, una base negativa da una potencia positiva; para impares, negativa. La magnitud se calcula elevando el valor absoluto de la base. El signo no se decide multiplicando la base por el exponente.

Los paréntesis indican el alcance. (−4)² es el cuadrado del número −4 y vale 16. En −4², la base de la potencia es 4 y el menos exterior se aplica después: −(4²) = −16. El símbolo negativo exterior toma el opuesto de la potencia completa.

En 2³·2², el primer bloque contiene tres factores 2 y el segundo otros dos.

Se suman porque se juntan dos listas de factores.

En 5⁴/5² hay cuatro factores 5 arriba y dos abajo. Como son no nulos, se cancelan dos parejas y quedan dos factores arriba: 5². Si el exponente superior es mayor, esta cuenta muestra aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

Estas reglas comparan bases iguales, incluyendo sus signos y paréntesis. No se suman exponentes de 2³·3², ni se considera igual la base 3 y la base −3. Más adelante definiremos qué significa el exponente cero y qué ocurre si quedan factores en el denominador.

Para una base a no nula, a³/a³ vale 1 porque se divide un número no nulo por sí mismo. Con la regla del cociente tendría que escribirse a³⁻³ = a⁰. Definimos a⁰ = 1 para que ambas lecturas coincidan.

No se está multiplicando la base por cero. En 7⁰ el exponente es cero y el resultado es 1; en 7·0 hay un factor cero y el resultado es 0. Son operaciones diferentes.

Con base cero, el cociente de justificación sería 0/0. En este tema 0⁰ no recibe un valor general; se comprueba la base antes de usar a⁰ = 1. El cero sí admite exponentes positivos, como ya vimos.

En 3²/3⁴, cancelamos dos factores 3 arriba y abajo.

El recíproco de una cantidad no nula es la que al multiplicarse por ella da 1. El signo menos del exponente indica ese recíproco; no vuelve negativa la base ni describe una cantidad negativa de factores. El exponente negativo es una escritura válida, que podemos transformar a fracción para calcular.

La base negativa conserva su signo según la paridad: (−3)⁻² = 1/9 y (−3)⁻³ = −1/27. Cero no admite exponentes negativos, porque pedirían dividir entre cero.

Con base no nula, las leyes de producto y cociente se mantienen para exponentes enteros, incluidos cero y negativos. Se entienden mediante fracciones y cancelación, sin inventar listas de factores de longitud negativa.

En (2³)², el exponente exterior repite dos veces todo el bloque 2³. Cada bloque contiene tres factores 2; en total hay seis.

La regla es (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: aquí se multiplican exponentes porque contamos n grupos de m factores.

Para exponentes positivos esta explicación permite también base cero. Para una base no nula, la ley se extiende a cualesquiera exponentes enteros usando recíprocos y exponente cero. Revisamos primero que la potencia interior y la exterior estén definidas.

La operación que une las potencias decide la regla: aᵐ·aⁿ suma exponentes; (aᵐ)ⁿ los multiplica. Los paréntesis muestran si se repite una potencia entera o si se multiplican dos potencias separadas.

En (2·3)³ se repite tres veces el bloque 2·3: (2·3)(2·3)(2·3). Podemos ordenar los factores como (2·2·2)(3·3·3). Así (ab)ⁿ = aⁿbⁿ para exponentes positivos: la potencia afecta a cada factor del producto.

La propiedad también sirve para exponentes cero o negativos cuando todas las bases implicadas son no nulas. Para exponente negativo, invertir el producto completo equivale a multiplicar los recíprocos de sus factores. Esta regla se refiere a productos; una suma dentro del paréntesis tiene otra estructura.

Al repetir una fracción, se repiten sus dos términos como factores.

Si el exponente es cero o negativo también se exige a ≠ 0, porque la fracción completa debe ser una base no nula. Con exponente negativo puede ser cómodo invertir primero toda la fracción y después elevar al exponente positivo. No se intercambian términos de una suma: se toma el recíproco de la base completa.

En (4 + 1)², primero sumamos y después multiplicamos el resultado por sí mismo: 5² = 25. Elevar cada sumando daría 4² + 1² = 17, una cantidad distinta. La potencia se distribuye sobre productos, no sobre sumas.

La distributiva produce a² + ab + ba + b², es decir a² + 2ab + b². Los productos cruzados explican la diferencia; no desaparecen.

Tampoco se suman exponentes de potencias que estén sumándose.

La ley de exponente total 2 + 3 se aplicaría a 3²·3³, que vale 243. Antes de usar una propiedad miramos la operación que une los bloques.

Primero identificamos las bases completas y qué exponente afecta a cada una. Revisamos las bases cero antes de usar exponentes no positivos. Después aplicamos una ley cada vez y mantenemos las operaciones pendientes.

Para comprobar, podemos calcular por separado las potencias pequeñas o cancelar factores explícitos. También podemos prever magnitudes: si |a| > 1 y el exponente es negativo, la magnitud del resultado es menor que 1.

La base decide cuál de esas previsiones sirve.

Un resultado puede escribirse como potencia o como fracción equivalente. Expresar el exponente negativo mediante un recíproco ayuda a interpretar su valor, pero la escritura con exponente negativo sigue siendo válida si se cumplen sus condiciones.