Estimadores a posteriori y adaptación de malla

El error es u−, pero u suele ser desconocida. Un estimador η se calcula con la aproximación, los datos y la malla. Hay que indicar qué norma del error controla y bajo qué condiciones: no es una probabilidad ni necesariamente el error exacto.

En Poisson, con producto a(v,w)=∫∇v·∇w y frontera Dirichlet, el residuo funcional es R(v)=l(v)−a(,v)=a(u−,v). Su norma dual de energía coincide exactamente con el error energético por Cauchy–Schwarz y la prueba proporcional al error. Calcular ese supremo suele ser tan difícil como el problema original; los indicadores locales lo estiman.

Para −Δu=f, dentro de cada elemento aparece f+Δ.

Al integrar por partes también aparecen saltos de ∇·n en las interfaces. Aunque sea continua, su pendiente puede saltar. En elementos lineales, Δ=0 en el interior y las interfaces siguen aportando información.

Para Poisson conforme en mallas apropiadas, una forma residual habitual en dimensiones dos o tres suma términos ²∥f+Δ∥² por elemento y ∥salto del flujo normal∥² por cara interior, con convenciones de reparto entre vecinos. Fronteras Neumann o coeficientes variables modifican estos términos. El ejemplo siguiente usa una versión unidimensional explícita.

Si ηₖ≥0, usamos .

Primero cuadramos, después sumamos y al final tomamos la raíz. La fracción ηₖ²/η² indica cuánto aporta esa celda al total cuadrático cuando η>0.

La asignación local puede compartir un término de interfaz entre dos celdas; se fija una convención para no contarlo dos veces sin querer. Un indicador local es una contribución al estimador, no necesariamente el error puntual o la energía exacta del error en esa celda.

Fiabilidad es una cota E≤η, o una versión que incorpora oscilación de datos. E es la norma de error que se ha fijado. Eficiencia tiene el sentido inverso, por ejemplo η≤(E+osc). Evita que η sea desproporcionado frente al error y la parte no resuelta de los datos.

Las cotas locales suelen incluir parches vecinos. Las constantes dependen de condiciones del problema y de la geometría permitida, pero deben ser uniformes dentro de la familia de mallas. Oscilación mide la parte de datos que no representa una proyección local; no significa que la solución esté vibrando.

Fijamos 0<θ≤1 y buscamos un conjunto M con . Este es nuestro convenio para θ; algunos textos escriben θ² en ese lugar. Ordenar los indicadores y acumular cuadrados ofrece una selección sencilla.

Una celda puede bastar si concentra gran parte del indicador. Con η=0 no hace falta marcar para capturar una fracción positiva de cero; se aplica la regla de parada pertinente. El refinamiento para mantener conformidad puede añadir vecinos después de la selección.

Tras dividir elementos cambia el espacio y se vuelve a calcular . Los indicadores antiguos guían la decisión previa; no son automáticamente los indicadores de la nueva solución.

En 1D basta añadir nodos al intervalo. En 2D o 3D hay que mantener forma de elementos y continuidad requerida, con refinamiento compatible o restricciones de nodos colgantes. Añadir pequeños triángulos degenerados puede estropear las constantes que justifican el estimador.

Una tolerancia en η certifica una cota en E solo con la constante y los términos requeridos por el teorema. Si esos valores no están disponibles, el estimador sigue siendo una guía adaptativa, pero no se presenta como certificado numérico completo.

El sistema de matriz tampoco se resuelve siempre exactamente. Para K simétrica definida positiva y residual r=F−KŨ, el error algebraico tiene energía cuadrada rᵀK⁻¹r. Calcularlo exactamente puede ser caro; se usan cotas y estimadores del solucionador. No conviene gastar toda la tolerancia en una matriz mientras domina la discretización.

Una singularidad localizada o una capa estrecha puede hacer ineficiente una malla uniforme. La adaptación intenta concentrar recursos donde la aproximación lo necesita. Si la solución es suave y homogénea, el reparto adecuado puede ser mucho más uniforme.

Tamaño h, grado p y combinaciones hp son decisiones distintas. Un algoritmo con marcado no es automáticamente óptimo: las pruebas de contracción y complejidad necesitan estabilidad, reducción del estimador, ortogonalidad o cuasiortogonalidad y reglas concretas de refinamiento.

A veces interesa J(u), como una media o un flujo total, en vez de toda la norma de u. Para un funcional lineal continuo J y un problema simétrico, el adjunto z cumple a(v,z)=J(v).

Entonces J(u−)=R(z)=R(z−) para cualquier ∈.

La identidad muestra que un residuo importa según su efecto en esa cantidad. Un adjunto aproximado puede orientar adaptación al objetivo, pero requiere estimar su propio error. Si se elige en el mismo espacio y se olvida la diferencia, Galerkin da R()=0 y se pierde toda la información.