Volúmenes finitos y métodos discontinuos

Para +f(u)_x=0, la masa en una celda K=[a,b] es ∫ₐᵇu dx.

Su derivada temporal es f(u(t,a))−f(u(t,b)): entrada por la izquierda menos salida por la derecha. La media es esa masa dividida por la longitud Δx.

Con un flujo numérico F en cada interfaz y Euler explícito, . Los flujos se orientan aquí hacia la derecha; un valor negativo representa transporte en sentido contrario.

En una interfaz interior no se inventan dos flujos diferentes: el de la celda izquierda es salida y el de la derecha entrada. Al sumar masas, esa contribución se cancela. Solo quedan los flujos exteriores.

En mallas de tamaños distintos se suman longitud de cada celda por su media. Sumar medias sin sus longitudes no conserva necesariamente la masa física. Conservación y consistencia son condiciones diferentes: un flujo idénticamente cero conserva, pero no representa advección no nula.

En advección +cu_x=0, una señal se mueve con velocidad c.

Si c>0 viaja a la derecha y el flujo toma : F=cu_L.

La fórmula conjunta es F=c⁺+c⁻, con c⁺=max(c,0) y c⁻=min(c,0).

No se elige el menor dato ni el mayor: se sigue el sentido de transporte. Los flujos no lineales necesitan analizar sus velocidades y el problema local de Riemann.

Para c>0 y malla uniforme, . Si 0≤ν≤1 es una combinación convexa: coeficientes no negativos que suman uno. Mantiene el rango y la positividad dentro de este marco escalar.

La condición CFL relaciona espacio, tiempo y velocidad. No es universal para cualquier esquema: con grado mayor o integración temporal distinta cambia. Conservar masa no evita por sí solo valores negativos ni inestabilidad.

Una discontinuidad de estados y que viaja a velocidad s debe cumplir Rankine–Hugoniot: . Se deduce del balance alrededor del salto, sin usar una derivada clásica dentro de él.

En leyes escalares no lineales también se exige la condición de entropía. Para η convexa y q′=η′f′, la solución admisible satisface ∂tη(u)+∂xq(u)≤0 en sentido débil. Un método conservativo puede necesitar una selección de entropía para converger al resultado adecuado.

Galerkin discontinuo aproxima u por polinomios locales que no tienen que coincidir entre celdas. En una interfaz aparecen dos trazas, u⁻ y u⁺. El flujo numérico las comunica según la ecuación.

Multiplicar por una prueba local w e integrar por partes en [a,b] da . Las pruebas son locales y sus trazas no se sustituyen por una prueba continua global.

Para un operador elíptico como −Δu, tomar gradientes solo dentro de cada celda no controla las discontinuidades. Una función constante en cada elemento puede tener gradiente interior cero y saltos grandes.

Los métodos de penalización interior añaden términos de interfaz y estabilización con escala habitual αp²/h para p≥1, en familias geométricas apropiadas. α debe ser suficientemente grande según el método y sus desigualdades de traza. El análisis usa una norma que incluye gradientes por piezas y saltos; no la H¹ conforme de una función discontinua.

Polinomios de mayor grado capturan variación dentro de una celda y pueden dar mayor precisión para soluciones suaves. Cerca de discontinuidades pueden oscilar. Limitadores, reconstrucciones no oscilatorias y técnicas de positividad tienen condiciones propias.

La cuadratura de términos no lineales y el paso temporal también importan. Comprobar conservación, estados constantes y estabilidad es parte del método. Una imagen de aspecto suave no prueba que el choque viaje a la velocidad correcta.

Primero se fijan orientación, media o masa y tamaños de celda. Después se comprueba un estado constante y el balance global. Para advección suave, u(t,x)=u₀(x−ct) permite comparar la solución numérica con una referencia exacta.

Los resultados de convergencia requieren sus hipótesis de consistencia, estabilidad, compacidad y admisibilidad. Una condición CFL necesaria no es una demostración universal de estabilidad de cualquier flujo o sistema. Los cálculos anteriores prueban las propiedades del esquema escalar explícito especificado.