Leyes de conservación y balances

La variable Q puede representar masa, carga, energía u otra cantidad. Especificamos la región o recipiente que la contiene y la unidad. La frontera decide qué es entrada, salida o transferencia interna; cambiar el sistema observado puede cambiar esa clasificación.

Trabajaremos con recipientes o regiones fijas salvo que se indique el cambio de volumen. Una frontera que se mueve requiere medir el flujo respecto de su velocidad. No se introduce creación o pérdida de la cantidad si el modelo las excluye.

Durante un intervalo, el cambio de Q es la integral de las tasas de entrada menos las de salida más la producción interna neta. Si las tasas son suficientemente regulares, Q′=entrada−salida+producción. Q y Q′ tienen unidades distintas.

Conservar una cantidad significa que no se crea ni destruye en el modelo. El contenido de un sistema abierto puede aumentar porque recibe más de lo que entrega. Solo en un sistema cerrado y sin producción neta el balance obliga a contenido constante.

Un caudal q en litros por minuto transporta volumen. Multiplicarlo por concentración c en gramos por litro produce qc en gramos por minuto: ese producto puede aparecer en M′. Si hay varias corrientes, se calcula cada producto antes de sumarlos.

La concentración conjunta se pondera por caudales. Una media simple solo sería adecuada si esos caudales fueran iguales. El mismo principio dimensional se aplica a un caudal por una densidad cuando se quiere un flujo de masa total.

En un tanque perfectamente mezclado, el contenido tiene concentración uniforme M/V y la salida lleva esa misma concentración.

Es una hipótesis sobre el proceso de mezcla, no una identidad válida en cualquier recipiente.

Si hay capas de distinta concentración, una salida puede extraer una de ellas y no la media total. El balance entrada−salida sigue siendo correcto, pero su expresión en función de M necesita otro modelo. Dibujar corrientes ayuda a distinguir la contabilidad de esa hipótesis adicional.

Sin reacción, V′=q entrada−q salida y M′=q entrada·c entrada−q salida·M/V.

El caudal de salida sigue influyendo en V y en el intervalo de validez.

Se conservan datos iniciales y se detiene o cambia el modelo al vaciar, desbordar o perder la hipótesis de mezcla. El cociente requiere volumen positivo, aunque una fórmula límite parezca producir un número en el instante de vaciado.

El equilibrio M*=V·c entrada conserva masa por igualdad de flujos, no por ausencia de ellos.

La desviación decae con tiempo característico V/q. Una producción, reacción o entrada variable cambia el balance y puede cambiar equilibrio y estabilidad. El resultado de un tanque sin reacción no se reutiliza sin revisar un tanque que sí la tiene.

Una tasa constante da una recta mientras puedan mantenerse sus hipótesis. Un contenido negativo puede indicar que se prolongó una salida más allá de lo disponible.

En un cálculo numérico, conservar el total y conservar positividad son propiedades distintas. Se pueden transferir exactamente las mismas cantidades entre compartimentos y, sin embargo, dar un paso tan grande que uno termine con masa negativa. Ambas comprobaciones pueden ser necesarias.

En una región fija Ω, una densidad ρ acumula Q=∫Ωρ. Con flujo vectorial J y normal exterior n, el balance es dQ/dt=−∫ frontera J·n+∫Ωs. Salida exterior positiva reduce el contenido. Con regularidad adecuada y el teorema de Gauss aparece ∂ₜρ+divJ=s.

La contabilidad no determina J. Una ley constitutiva añade, por ejemplo, J=ρv para transporte o J=−D∇ρ para difusión. Cada una necesita su propio marco físico. En una frontera móvil se modifica el flujo relativo antes de usar un balance del contenido móvil.