Modelos de oscilaciones y vibraciones

Medimos x desde el equilibrio estático y elegimos sentido positivo. En el modelo lineal, el resorte ejerce −kx, el amortiguador viscoso −cx′ y la fuerza exterior es F(t).

La ecuación necesita dos datos: x(0) y x′(0). Un peso constante puede desaparecer al desplazar la coordenada al equilibrio; no porque la gravedad haya dejado de actuar. Un resorte no lineal, fricción seca o una geometría diferente exigen revisar las fuerzas.

Los términos mx″, cx′ y kx tienen dimensión de fuerza.

Definimos ω₀=√(k/m), frecuencia angular natural, y ζ=c/(2√(mk)), razón adimensional de amortiguamiento.

En el caso libre sin amortiguar, el periodo es 2π/ω₀ y la frecuencia de ciclos es f₀=ω₀/(2π). Los radianes se tratan como adimensionales, pero se conserva el nombre frecuencia angular para recordar el factor 2π. En el caso amortiguado la frecuencia de oscilación puede cambiar o dejar de existir.

No se usa B igual a la velocidad sin ese divisor.

También se puede escribir Rcos(ω₀t+φ), con R=√(A²+B²), A=Rcosφ y B=−Rsinφ. La fase se elige con el cuadrante correcto. Es otra representación de los mismos dos datos, no una solución adicional.

Si 0≤ζ<1, aparecen raíces −c/(2m)±iωd y una oscilación con envolvente exponencial, donde ωd=ω₀√(1−ζ²). Si ζ=1, la raíz es repetida; si ζ>1, hay dos raíces reales negativas.

En el caso crítico la forma es (A+Bt)exp(−ω₀t). En el sobreamortiguado se combinan dos exponenciales reales. No se llama frecuencia de oscilación real a una raíz cuadrada negativa: esos dos regímenes no tienen una oscilación libre sinusoidal.

La fuerza exterior aporta potencia F x′ y el amortiguador retira c x′² cuando c≥0.

Con c=0 es constante; con c>0 puede tener derivada cero en un instante donde x′=0 sin ser constante durante toda la trayectoria. El signo de la potencia exterior depende también de la velocidad, no solo del signo de F.

Con F=F₀cos(Ωt), F₀≥0 y c>0, una particular armónica es A cos(Ωt−δ).

El cuadrante importa: para k−mΩ² negativo no basta la arctangente de un cociente sin contexto.

La solución completa añade una solución libre que ajusta los dos datos iniciales. En el modelo con c>0 y m, k>0 ese transitorio decae, quedando la particular. Ω es la frecuencia impuesta por la fuerza, no la natural ω₀ salvo que se indique esa igualdad.

Para desplazamiento forzado con c>0, si 0≤ζ<1/√2 el máximo a frecuencia positiva ocurre en Ω pico=ω₀√(1−2ζ²). Para ζ≥1/√2 la amplitud no presenta ese máximo interior positivo y su mayor valor está en Ω=0. Esto se refiere a la respuesta de desplazamiento, no a cualquier variable de salida.

Sin amortiguamiento y con Ω=ω₀, el denominador armónico se anula y no existe esa particular acotada. La solución incluye un término proporcional a t sin(ω₀t). Su envolvente crece dentro del modelo ideal; no se usa una fórmula estacionaria que ya ha perdido sus hipótesis.

Tras resolver, calculamos x′ y x″, sustituimos en la ecuación original y comprobamos los dos datos. El balance de energía aporta otra verificación. Una fórmula que satisface la ecuación puede corresponder a otra trayectoria si falla un dato inicial.

Con varias masas aparecen matrices de masa, amortiguamiento y rigidez. En problemas sin amortiguamiento, masa SPD y rigidez simétrica, los modos se obtienen de Kφ=ω²Mφ y permiten coordenadas adecuadas. Un amortiguamiento general no queda necesariamente desacoplado por esos mismos modos; se revisa esa hipótesis.