Principio del máximo de Pontryagin

El estado x(t) describe dónde está el sistema; el control u(t) es lo que elegimos.

Minimizamos J(u)=∫₀ᵀl(t,x,u)dt+g(x(T)), con estado inicial y conjunto de controles especificados.

Se declara si T está fijado, si el estado final está obligado y qué regularidad se exige. En nuestro ejemplo x′=u, los controles L² dan trayectorias absolutamente continuas y coste cuadrático finito. Una curva que gaste poco pero no cumpla el destino no es admisible.

Usamos .

En una versión del principio aplicable bajo las hipótesis de regularidad y optimalidad pertinentes, existen multiplicadores no triviales con x′=, p′=− y u que maximiza H sobre U casi en todo instante.

p es el coestado: una variable auxiliar, no otro control que elijamos libremente. Otra convención usa +l y minimiza, cambiando el signo del coestado. No se mezclan los signos de una convención con la condición de máximo de la otra. Son condiciones necesarias para el problema declarado, no un certificado global automático.

Los multiplicadores (λ₀,p) no pueden anularse todos. Si λ₀>0, dividir ambos por λ₀ conserva las ecuaciones y el máximo y permite λ₀=1: caso normal.

En problemas restringidos pueden aparecer extremales anormales. El coste desaparece del Hamiltoniano en ese caso, pero no desaparecen las restricciones, la dinámica ni la no trivialidad. La normalidad del ejemplo cuadrático se puede verificar en lugar de presuponerla como ley universal.

No hay variación libre del estado final que obligue a esa igualdad. Con extremo final libre y coste terminal g, en nuestra convención normal aparece p(T)=−∇g(x(T)).

Con extremos sobre una variedad, tiempo final libre o restricciones de estado cambian las condiciones de transversalidad. Hay que deducirlas del problema completo, sin inventar un dato para cerrar el sistema de estado y coestado.

En un intervalo, es el punto permitido más próximo a p; puede quedar en una frontera sin anular .

Si H depende linealmente de u, se elige un extremo según el signo de su coeficiente. Si ese coeficiente se anula en un intervalo temporal, la maximización sola puede no determinar u: pueden aparecer arcos singulares y hacen falta condiciones adicionales.

Para x′=u, l=u²/2 y extremos x(0)=0,x(T)=a, con T>0 fijo y U=ℝ, normalidad y las ecuaciones dan p constante y u=p.

La energía propuesta es a²/(2T). El dibujo compara controles con la misma integral de u pero distintas integrales de u², para entender por qué concentrar el esfuerzo puede costar más.

Cauchy–Schwarz da . El control constante a/T alcanza esa cota. Esto convierte el candidato en mínimo global.

La igualdad exige u constante casi en todas partes, así el control óptimo L² es único salvo cambios en conjuntos de medida cero. En otros problemas, satisfacer Pontryagin no proporciona automáticamente esa suficiencia; se necesita convexidad, una comparación o verificación apropiada.

En el integrador esta condición también es suficiente: u=a/T cumple la cota. Si la viola, ningún multiplicador crea una trayectoria admisible.

Para otros sistemas se resuelven ecuaciones acopladas y se revisan estados, controles y extremos. En un cálculo numérico hay que controlar residuos y restricciones. Aproximar un sistema necesario no certifica por sí solo la optimalidad global del problema original.

Si T deja de estar fijado, minimizar solo la energía de un traslado no nulo permite a²/(2T)→0 al hacer T→∞. Ningún tiempo finito alcanza energía cero con a≠0. Es otro problema de alcanzabilidad del ínfimo.

Añadir un precio βT por tiempo, con β>0, equilibra duración y energía.

Una condición de Hamiltoniano para tiempo libre no se impone por analogía a un problema cuyo T estaba fijado.