Transporte óptimo

Trabajamos con probabilidades μ y ν, ambas de masa total uno. δ_a significa que toda la masa está en el punto a; (δ_a+δ_b)/2 reparte la mitad en cada uno. Origen y destino deben tener la misma masa para el modelo clásico.

c(x,y) es coste por unidad de masa entre x e y.

Una masa m que viaja distancia d aporta md²: se eleva al cuadrado la distancia y después se pondera por la masa. Otras leyes de coste plantean otros problemas.

Un mapa medible T transporta μ a ν si ν(B)=μ(T⁻¹(B)) para todo conjunto medible B.

La condición comprueba que a cada región llega la masa pedida, no solo que coincidan las masas totales.

Monge minimiza ∫c(x,T(x))dμ(x) entre esos mapas. Un mapa determinista puede no ser admisible cuando el origen tiene átomos y el destino exige dividirlos. La existencia de una buena idea de ruta no resuelve esa limitación.

Un plan π es una probabilidad sobre pares (x,y), con marginales μ y ν: π(A×ℝᵈ)=μ(A), π(ℝᵈ×B)=ν(B). Registra rutas y sus cantidades simultáneamente. La formulación de Kantoróvich minimiza ∫c dπ entre todos esos planes Π(μ,ν).

Todo mapa induce el plan (Id,T)#μ, pero un plan general puede dividir masa. El producto μ⊗ν siempre es un acoplamiento de probabilidades; prueba factibilidad, aunque no optimalidad ni coste finito para cualquier coste arbitrario.

Cada fila suma la masa de su origen aᵢ y cada columna la de su destino bⱼ. El coste es Σπᵢⱼc(xᵢ,yⱼ), lineal en las entradas.

Con masas finitas de igual total y costes finitos, el conjunto factible es un politopo compacto no vacío, así el mínimo existe. Dar una matriz que sume bien solo prueba factibilidad; para afirmar que minimiza hay que comparar todas las opciones o aportar un certificado.

Para probabilidades en ℝᵈ y coste no negativo semicontinuo inferior, la familia de planes con marginales fijas es ajustada y cerrada para convergencia débil. Si hay un plan de coste finito, compacidad probabilística y semicontinuidad dan un plan óptimo.

Con coste cuadrático, segundos momentos finitos bastan para finitud: |x−y|²≤2|x|²+2|y|² y podemos usar el producto como comparación. La unicidad y la representación por mapa son propiedades adicionales, que no se deducen solo de existencia.

En P₂(ℝᵈ), probabilidades con segundo momento finito, definimos . La raíz devuelve unidades de longitud.

W₂ es una distancia: simétrica, no negativa, cero exactamente entre medidas iguales y con desigualdad triangular. Esta última usa un acoplamiento triple y Minkowski. W₂² no tiene en general desigualdad triangular; no se lo llama distancia por omitir la raíz.

Si a≤b y c≤d, el coste de cruzar menos el de ordenar es .

Intercambiar la misma cantidad en rutas cruzadas conserva marginales y no aumenta coste.

Con cuantiles Qμ(t)=inf{x:Fμ(x)≥t}, para 0<t<1, el plan monótono empareja Qμ(t) con Qν(t).

En la recta, .

Vale también con átomos: se emparejan niveles de masa, no necesariamente un único destino por átomo.

Si φ(x)+ψ(y)≤c(x,y), integrar contra cualquier plan da ∫φdμ+∫ψdν≤∫c dπ, para funciones integrables en el contexto utilizado. Es una cota inferior que depende solo de las marginales.

Bajo hipótesis como soportes compactos y coste continuo, el supremo dual coincide con el mínimo primal. Si encontramos potenciales admisibles y un plan cuyo soporte alcanza igualdad en las rutas usadas, los dos valores coinciden y certifican optimalidad.

Para coste cuadrático en ℝᵈ, si μ,ν∈P₂ y μ es absolutamente continua respecto de Lebesgue, el plan óptimo es único y procede de T=∇Φ para alguna Φ convexa, definido μ-casi en todas partes. Es el teorema de Brenier.

No se exige aquí que ν tenga densidad suave. Tampoco se concluye que T sea suave: regularidad, dominios y versiones de Monge–Ampère requieren más hipótesis. La absoluta continuidad del origen es una condición suficiente; no una condición necesaria para cada ejemplo particular.

Por Jensen, cada acoplamiento con segundos momentos cumple ∫|y−x|²dπ≥|EνY−EμX|². Si una traslación transporta exactamente la distribución y todos los desplazamientos son iguales, alcanza esa cota.

Distribuciones con igual media pueden tener distancia positiva. El procedimiento completo es construir un plan con las marginales correctas, sumar costes ponderados, demostrar optimalidad y tomar la raíz. Comparar medias o sumar distancias sin masas no reemplaza esos pasos.