Sustituir puede producir una división permitida o revelar que todavía falta estudiar la expresión. La forma 0/0 no tiene un valor que podamos usar como respuesta: distintas funciones con esa forma pueden acercarse a números distintos. Elegiremos entre factorizar, usar un conjugado o comparar potencias, justificando cada cambio.
Si necesitas repasar:
1. Una transformación para el límite debe conservar los vecinos que estamos estudiando
El límite en a depende de entradas del dominio cercanas a a y distintas de a. Dos reglas que coinciden en todos esos vecinos tienen el mismo límite, aunque una tenga un hueco en a. Esto permite simplificar sin afirmar que la función original adquirió un valor en el centro.
Esa condición es compatible con el entorno perforado del límite. Cancelar no define la operación original de dividir entre cero ni borra una restricción cuando se pregunta por el valor exacto de la función.
Mismos vecinos, distinto dominio
Compara f(x) = (x² − 9)/(x − 3), x ≠ 3, con g(x) = x + 3.
Factorización
x² − 9 = (x − 3)(x + 3).Para x ≠ 3
El cociente es x + 3.
Límite
Ambas se acercan a seis cuando x → 3.
Mismo límite seis; f sigue sin valor en tres.
La igualdad usada se declaró donde el factor cancelado no es cero.
Asignar otro valor al centro
A la regla anterior se le añade f(3) = −10. ¿Cambia su límite?
Entrada exacta
Ahora el valor del centro es −10.
Entradas vecinas
Siguen produciendo x + 3.
Acercamiento
Sigue siendo seis.
El límite no cambia.
El valor aislado y el acercamiento siguen siendo preguntas diferentes.
2. Comprobamos primero si una ley de límites ya permite calcular
Para un cociente de polinomios en un punto finito, si el denominador no se anula podemos evaluar arriba y abajo y dividir. Que una expresión parezca complicada o aparezca en una colección de factorización no obliga a usar ese método.
Si el denominador se anula, distinguimos qué ocurre con el numerador y analizamos el comportamiento. Ni 0/0 ni un número no nulo entre cero son divisiones reales válidas; describen una situación que pide más información.
No hace falta transformar
Halla el límite de (2x² + 3)/(x + 1) cuando x → 2.
Abajo
Tres, no nulo.
Arriba
2 · 4 + 3 = 11.Cociente
11/3.
11/3.
La condición del denominador permite sustitución directa.
Diagnosticar antes del método
Para (x² − 1)/(x − 1) cuando x → 1, ¿qué informa la sustitución?
Arriba
Cero.
Abajo
Cero.
Alcance
La forma 0/0 no decide el límite; una transformación puede revelar los vecinos.
Hay una forma indeterminada 0/0 que aún debe resolverse.
No se escribe cero, uno o infinito como resultado de esa división.
3. Una forma indeterminada no determina un resultado único
Ambos darían 0/0 al sustituir en cero, pero sus límites son uno y cero. También x/x² = 1/x crece sin cota por la derecha. La misma forma inicial puede esconder comportamientos diferentes.
Un numerador que tiende a un número no nulo sobre un denominador que tiende a cero es otro diagnóstico. Puede dar crecimiento sin cota con un signo o tener signos laterales opuestos. Por ejemplo, 1/x² va a +∞ por ambos lados de cero, mientras 1/x tiene lados −∞ y +∞.
Tres cocientes que parecen 0/0
Para x → 0⁺, compara x²/x, x/x y x/x².
Primero
Para x > 0, x²/x = x: límite cero.Segundo
x/x = 1: límite uno.Tercero
x/x² = 1/x: crece sin cota positiva.
Límites 0, 1 y +∞.
Se estudiaron los cocientes en x positivo, sin dividir en cero.
Mismo denominador nulo, distinto signo lateral
Compara 1/x y 1/x² cerca de cero.
1/x
Positivo a la derecha, negativo a la izquierda; su módulo crece sin cota.
1/x²
Positivo en ambos lados y sin cota.
Conclusión
La primera no tiene un único límite bilateral; la segunda tiende a +∞.
El signo y los lados importan.
Para exigir 1/x² > M con M > 0 basta 0 < |x| < 1/√M: eso precisa el crecimiento sin cota.
4. Factorizar convierte una cancelación aparente en una igualdad válida en los vecinos
Si numerador y denominador comparten un factor que se anula en a, lo escribimos explícitamente y cancelamos solo para x ≠ a. Después comprobamos la nueva expresión y calculamos su límite. Cancelamos factores que multiplican, nunca términos que se suman.
En (x² − 9)/(x − 3), la diferencia de cuadrados da (x − 3)(x + 3). El cociente coincide con x + 3 fuera de tres, como muestra el hueco del dibujo. El factor x − 3 no es el valor del límite; es la pieza que ocultaba esa regla vecina.
Diferencia de cuadrados
Halla el límite de (x² − 9)/(x − 3) cuando x → 3.
Factores
(x − 3)(x + 3)/(x − 3).
Vecinos
Para x ≠ 3 se reduce a x + 3.Límite
3 + 3 = 6.
6.
El denominador original sigue siendo cero en tres: la función original mantiene el hueco.
Un trinomio
Halla el límite de (x² − x − 6)/(x − 3) cuando x → 3.
Buscamos factores
(x − 3)(x + 2) = x² − x − 6.Cancelamos donde x ≠ 3
Queda x + 2.
Evaluamos la regla vecina
3 + 2 = 5.
5.
Desarrollar los factores recupera el numerador original.
5. Un conjugado usa diferencia de cuadrados para revelar el factor
Una diferencia de raíces puede transformarse multiplicando por su conjugado.
Multiplicamos numerador y denominador por el mismo factor no nulo para conservar la expresión en los vecinos.
Antes comprobamos el dominio de la raíz. Después de cancelar revisamos que el nuevo denominador no se anule en el punto. Ver una raíz no obliga a racionalizar siempre: elegimos el conjugado cuando ayuda a resolver la forma que apareció.
Raíz desplazada
Halla el límite de [√(x + 4) − 2]/x cuando x → 0.
Forma inicial
0/0; la raíz admite vecinos de cero.
Conjugado
Multiplicamos por [√(x + 4) + 2] arriba y abajo.
Producto del numerador
(x + 4) − 4 = x.Para x ≠ 0
Queda 1/[√(x + 4) + 2].
Límite
1/(2 + 2) = 1/4.
1/4.
El conjugado es positivo cerca de cero y la transformación conserva esos vecinos.
Raíz sin desplazamiento
Halla el límite de (√x − 3)/(x − 9) cuando x → 9.
Conjugado
Multiplicamos por √x + 3.
Numerador
x − 9.
Cancelación vecina
Para x ≠ 9, queda 1/(√x + 3).Sustitución permitida
1/(3 + 3) = 1/6.
1/6.
Cerca de nueve la raíz es real y el denominador final es positivo.
6. Al infinito dividimos por una potencia para comparar tamaños
x → +∞ o x → −∞ describe entradas sin cota, no un número que se sustituya. En cocientes de polinomios, dividir numerador y denominador por la mayor potencia del denominador permite ver términos 1/x, 1/x²… que tienden a cero.
Si los grados son iguales, queda el cociente de coeficientes principales. Si el numerador tiene menor grado, el cociente tiende a cero. Si tiene mayor, hay que estudiar la potencia sobrante y su signo en el extremo pedido. Primero simplificamos términos que realmente se cancelen dentro de cada polinomio.
Igual grado
Halla el límite de (3x² − 2x + 1)/(5x² + 4) cuando x → +∞.
Dividimos entre x²
(3 − 2/x + 1/x²)/(5 + 4/x²).
Términos pequeños
Las fracciones con x abajo tienden a cero.
Cociente final
3/5.
3/5.
El denominador transformado tiende a cinco, no a cero.
Menor grado arriba
Halla el límite de (2x + 1)/(x² + 1) cuando x → +∞.
Dividimos entre x²
(2/x + 1/x²)/(1 + 1/x²).
Límites de piezas
Cero arriba y uno abajo.
Resultado
Cero.
0.
La potencia cuadrática del denominador crece más deprisa que la lineal del numerador.
Mayor grado y extremo negativo
Halla el límite de (x³ + 1)/(2x² + 1) cuando x → −∞.
Dividimos entre x²
x(1 + 1/x³)/(2 + 1/x²).
Factor restante
El cociente entre paréntesis tiende a 1/2 positivo.
Signo y tamaño
x es negativo sin cota: el producto tiende a −∞.
−∞.
No se pierde el signo del extremo negativo al comparar solo grados.
7. Diferencias y productos pueden convertirse en cocientes más claros
La forma ∞ − ∞ no decide cuánto se cancela entre cantidades grandes. Un conjugado o denominador común puede revelar la diferencia. La forma 0 · ∞ tampoco permite multiplicar directamente dos supuestos números: a veces reescribimos como cociente.
La transformación debe conservar el dominio y el extremo pedido. Al sacar una x de √(x²) aparece |x|: solo la sustituimos por x si estamos trabajando con x positivo, como en un límite a +∞.
Dos cantidades grandes con diferencia finita
Halla el límite de √(x² + x) − x cuando x → +∞.
Conjugado
La expresión se vuelve x/[√(x² + x) + x].
x positivo cerca de +∞
Dividimos entre x: 1/[√(1 + 1/x) + 1].
Límite
1/(1 + 1) = 1/2.
1/2.
El paso √(x²) = x se justificó por el extremo positivo.
Un producto 0 por infinito no decide
Para x → 0⁺, compara x(1/x) con x²(1/x).
Primero
Vale uno para cada x > 0.Segundo
Vale x para cada x > 0.Límites
Uno y cero.
La misma forma inicial es compatible con límites distintos.
La simplificación se hizo donde x no era cero.
8. En una potencia también hay que estudiar la expresión completa
1^∞, 0⁰ e ∞⁰ son nombres de formas de límites: describen qué hacen base y exponente, no definen una nueva operación con cero o infinito. Sus componentes por separado no fijan el límite de la potencia.
Si la base u(x) es positiva, tomar logaritmo convierte u(x)^v(x) en el estudio de v(x) ln u(x). Después usamos continuidad de la exponencial para volver al resultado cuando el límite del logaritmo lo permite. También podemos simplificar directamente con leyes de potencias para bases positivas.
Base que tiende a uno, exponente sin cota
Para x → +∞, compara [2^(1/x)]^x y [3^(1/x)]^x.
Bases
Ambas tienden a uno porque 1/x tiende a cero.
Exponentes
x tiende a +∞.
Expresiones completas
Por leyes de bases positivas, valen exactamente dos y tres para x > 0.
Los límites son dos y tres: la forma 1^∞ no decide.
Tomar logaritmos daría respectivamente ln2 y ln3, también constantes.
Base que tiende a cero y exponente a cero
Estudia [2^(−x)]^(1/x) cuando x → +∞.
Base
2^(−x) tiende a cero y es positiva.
Exponente
1/x tiende a cero.
Producto de exponentes permitido
[2^(−x)]^(1/x) = 2^(−1) = 1/2.
El límite es 1/2.
Cambiar dos por tres produciría un tercio: no se ha asignado valor a 0⁰.
Base sin cota y exponente a cero
Estudia [2^x]^(1/x) cuando x → +∞.
Base
Tiende a +∞.
Exponente
Tiende a cero.
Identidad completa
La expresión vale 2^(x/x) = 2 para x > 0.
El límite es dos.
Con base tres elevada a x se obtendría tres, con la misma forma ∞⁰.
9. Elegimos una herramienta y comprobamos que conserve los vecinos
Primero dominio y extremo; después diagnóstico de la sustitución o de los tamaños. Factorizamos cuando hay factores comunes; usamos conjugado cuando revela una diferencia de cuadrados; comparamos potencias en cocientes polinómicos al infinito. No cancelamos términos sumados ni aplicamos una fórmula solo por el aspecto de un símbolo.
Al finalizar, comprobamos que el nuevo denominador permite el paso, que el signo corresponde al lado y que no hemos añadido un valor al centro original. Un límite finito y un crecimiento a infinito son respuestas de naturaleza distinta y deben nombrarse con claridad.
No se cancelan términos sumados
¿Puede simplificarse (x² + 1)/(x + 1) cancelando una x cuando x → −1?
Estructura
Arriba y abajo hay sumas, no un factor x común a todo.
Numerador en −1
Dos, no cero.
Comportamiento
El denominador cambia de signo al cruzar −1; no hay límite bilateral finito.
Esa cancelación no es válida.
El factor x + 1 no divide al polinomio x² + 1 porque este no se anula en −1.
Factor común en los dos polinomios
Halla el límite de (x² − 4)/(x² + x − 6) cuando x → 2.
Factorizamos
Arriba (x − 2)(x + 2); abajo (x − 2)(x + 3).
Vecinos permitidos
Se cancela x − 2 para x ≠ 2.Denominador final
x + 3 tiende a cinco.
Resultado
(2 + 2)/(2 + 3) = 4/5.
4/5.
La simplificación se usa cerca de dos, donde tampoco aparece la otra raíz prohibida −3.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Factorización
Halla lim cuando x→2 de (x²−4)/(x−2).
Diagnóstico
En x = 2 aparecen cero arriba y cero abajo; esa forma no da un valor.
Diferencia de cuadrados
x² − 4 = (x − 2)(x + 2).Para x ≠ 2
El cociente se reduce a x + 2.
Límite
La regla vecina se acerca a cuatro.
Justificación de la igualdad
Ambas funciones coinciden en un entorno perforado de dos.
4.
Las funciones coinciden en un entorno perforado del punto.
EJEMPLO RESUELTO 2
Conjugado
Halla lim cuando x→0 de (√(1+x)−1)/x.
Dominio y forma
Hay vecinos reales de cero con x ≠ 0; la sustitución inicial da 0/0.
Conjugado
Multiplicamos por √(1 + x) + 1 arriba y abajo.
Producto
(1 + x) − 1 = x.Cancelamos para x ≠ 0
Queda 1/[√(1 + x) + 1].
Límite permitido
1/(1 + 1) = 1/2.
1/2.
La transformación usa (√(1+x)−1)(√(1+x)+1)=x.
Los símbolos que hemos usado
- x→a
- La entrada se aproxima a a desde valores del dominio, sin necesitar x=a.
- lim f(x)=L
- Los valores de f se aproximan a L en el proceso indicado.
- Entorno perforado
- Valores próximos al punto, excluyendo el propio punto.
- 0/0, ∞/∞
- Formas indeterminadas de cocientes; no son números ni divisiones válidas.
- Conjugado
- Binomio que cambia el signo entre sus términos para usar diferencia de cuadrados.
- x→∞
- La entrada crece sin cota superior; no se sustituye un número llamado infinito.
- u(x), v(x)
- Funciones auxiliares usadas al reorganizar una expresión.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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