Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores que hacen verdadera la igualdad. Si la incógnita está en un exponente o dentro de un logaritmo, primero miramos dónde aparece y qué valores admite. Después elegimos una transformación que conserve las soluciones, en vez de aplicar la misma receta a todas.
Si necesitas repasar:
1. Identificamos la posición de la incógnita antes de elegir método
En 3^x = 12 está en el exponente: dividir entre tres no la despeja.
La escritura decide qué operación inversa necesitamos.
Trabajaremos con exponenciales reales de base positiva y distinta de uno, y logaritmos reales con argumento positivo. Miramos además denominadores, raíces u otras restricciones si aparecen. Una solución debe tener sentido en todas las expresiones originales.
Tres posiciones diferentes
Compara 4x = 16, 4^x = 16 y log₄x = 2.
Multiplicación
4x = 16: dividir entre cuatro da x = 4.Exponente
4^x = 16: 4² = 16 da x = 2.Argumento logarítmico
log₄x = 2: x = 4² = 16.
Las soluciones son 4, 2 y 16, respectivamente.
Cambiar la posición de x cambia el problema.
Un valor imposible por el signo
Resuelve 5^x = −2 en ℝ.
Base positiva
5^x es positivo para todo x real.
Lado derecho
Es negativo.
Conclusión
No pueden ser iguales.
No hay solución real.
No se toma logaritmo real de −2 para fabricar una candidata.
2. Con la misma base válida, igualdad de potencias exige igualdad de exponentes
La exponencial de base b > 0, b ≠ 1, es inyectiva: dos entradas distintas no dan la misma salida.
Primero escribimos ambos lados con la misma base, si es posible.
No borramos una base en una suma de potencias, ni aplicamos esta equivalencia a base uno. También puede quedar una ecuación no lineal en los exponentes: hay que resolverla completamente después de la transformación.
Reescribir con una base común
Resuelve 9^(x−1) = 27.
Base tres
9 = 3² y 27 = 3³.Exponentes
3^(2x−2) = 3³, luego 2x − 2 = 3.Despejamos
2x = 5 y x = 5/2.
x = 5/2.
9^(3/2) = (√9)³ = 27.
El exponente contiene un cuadrado
Resuelve 2^(x²) = 16.
Misma base
16 = 2⁴.Inyectividad
x² = 4.Todas las soluciones
x = −2 o x = 2.
x = ±2.
Ambos cuadrados valen cuatro; la exponencial inyectiva no hace inyectiva a x².
3. Los logaritmos permiten despejar sin una potencia entera evidente
Un resultado exacto puede contener logaritmos. No redondeamos antes de terminar el despeje ni sustituimos una aproximación por una igualdad exacta. Comprobar por potencias cercanas ayuda a situar la respuesta.
Un exponente no entero
Resuelve 2^(x+1) = 7.
Logaritmo
(x + 1)ln2 = ln7.Dividimos
x + 1 = ln7/ln2.Despejamos
x = ln7/ln2 − 1 ≈ 1,807.
x = log₂7 − 1.
Como cuatro es menor que siete y siete menor que ocho, x + 1 queda entre dos y tres.
Una exponencial natural
Resuelve e^(3x−1) = 5.
Aplicamos ln
3x − 1 = ln5.Sumamos uno
3x = 1 + ln5.Dividimos
x = (1 + ln5)/3.
x = (1 + ln5)/3.
Al sustituir, el exponente queda ln5 y e^(ln5) = 5.
4. En logaritmos anotamos cada argumento positivo antes de combinar
log_b(U(x)) requiere U(x) > 0, además de una base válida. Si aparecen dos logaritmos, los dos argumentos deben ser positivos por separado. El producto positivo no reemplaza esa condición: dos negativos también pueden tener producto positivo.
El dominio se conserva durante la cuenta. Las raíces de una ecuación transformada son candidatas hasta comprobar que pertenecen al dominio original. No aceptar una candidata no es una excepción arbitraria: el logaritmo de su argumento no estaba definido.
Dos restricciones
Establece el dominio de log₂(x − 2) + log₂(x + 4).
Primer argumento
x − 2 > 0: x > 2.Segundo
x + 4 > 0: x > −4.A la vez
La condición más exigente es x > 2.
Dominio: (2; +∞).
Exigir solo (x − 2)(x + 4) > 0 admitiría también x < −4, que no sirve.
Una candidata con argumento cero
Para log₃(x − 1), alguien propone x = 1 como solución de una transformación posterior.
Sustituimos en el argumento
1 − 1 = 0.Dominio real
log₃0 no existe.
Decisión
La candidata se descarta para la ecuación original.
x = 1 no puede ser solución de esa ecuación logarítmica.
La comprobación del dominio se mantiene aunque la ecuación posterior tenga esa raíz.
5. Pasar a potencia elimina un logaritmo con una equivalencia
La potencia del lado derecho es positiva, así que la igualdad implica el argumento positivo cuando U está definido. Aun así revisamos el resto de expresiones originales.
Si log_bU = log_bV y ambos argumentos son positivos, la inyectividad del logaritmo permite U = V. No se igualan argumentos de logaritmos con bases diferentes sin otra justificación.
Una ecuación lineal después de la inversa
Resuelve log₄(2x − 1) = 2.
Dominio
2x − 1 > 0: x > 1/2.Potencia equivalente
2x − 1 = 4² = 16.Despejamos
2x = 17; x = 17/2.Comprobamos
2(17/2) − 1 = 16 > 0.
x = 17/2.
log₄16 = 2.
Igualar argumentos de la misma base
Resuelve log₂(x + 5) = log₂(3x − 1).
Dominio
x > −5 y x > 1/3: queda x > 1/3.Argumentos iguales
x + 5 = 3x − 1.Despejamos
6 = 2x; x = 3.Verificación
Los dos argumentos valen ocho.
x = 3.
Ambos logaritmos valen tres y la candidata pertenece al dominio.
6. Combinar logaritmos puede crear candidatas fuera del dominio
Con argumentos positivos y misma base, una suma se convierte en el logaritmo de un producto; una resta, en el de un cociente. Después aplicamos la inyectividad o la definición. Conservamos las condiciones individuales que escribimos antes.
Por ejemplo, log₁₀(x − 2) + log₁₀x = log₁₀8 exige x > 2. El producto conduce a x(x − 2) = 8, una ecuación cuadrática que también admite una raíz negativa; esa raíz no pertenece a la ecuación logarítmica inicial.
Una raíz válida y otra que se descarta
Resuelve log₁₀(x − 2) + log₁₀x = log₁₀8.
Dominio
x > 2.Producto y argumentos
x(x − 2) = 8.Factorizamos
x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) = 0.Candidatas y filtro
Cuatro y menos dos; solo cuatro supera dos.
x = 4.
Los argumentos son dos y cuatro; su producto ocho. Con −2 serían negativos.
Una resta de logaritmos
Resuelve log₂(x + 1) − log₂(x − 1) = 1.
Dominio
x > 1.Cociente
(x + 1)/(x − 1) = 2¹ = 2.Despejamos
x + 1 = 2x − 2, luego x = 3.Comprobación
Cociente 4/2 = 2 y ambos argumentos positivos.
x = 3.
La resta de los logaritmos es log₂2 = 1.
7. Un cambio de variable conserva también el rango de la exponencial
La ecuación se convierte en una cuadrática en t, pero t debe ser positivo. No toda raíz algebraica de la cuadrática corresponde a una entrada x real.
Después de filtrar t, resolvemos 2^x = t para cada valor positivo. Solo terminamos cuando hemos vuelto a x. El cambio puede producir ninguna, una o varias soluciones.
Una raíz negativa de la nueva variable
Resuelve 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0.
Sustitución
t = 2^x > 0: t² − 3t − 4 = 0.Factorizamos
(t − 4)(t + 1) = 0.Filtramos
t = −1 no es posible; queda t = 4.Volvemos a x
2^x = 4: x = 2.
x = 2.
16 − 3 · 4 − 4 = 0.
Dos valores positivos de la nueva variable
Resuelve 4^x − 7 · 2^x + 12 = 0.
Nueva ecuación
t² − 7t + 12 = (t − 3)(t − 4) = 0.Rango permitido
Tres y cuatro son positivos.
Volvemos
2^x = 3 da x = log₂3; 2^x = 4 da x = 2.
x = log₂3 o x = 2.
Las dos raíces de t se han tratado; no se pierde la que no da un exponente entero.
8. Comprobamos candidatas y justificamos que no falte ninguna
Sustituimos cada candidata en la ecuación original, no solo en la última transformación. Verificamos argumentos, bases y denominadores. Redondear sirve para interpretar, pero conservamos una expresión exacta para comprobar.
Encontrar una candidata que funciona no demuestra que sea la única. La equivalencia de los pasos y la resolución completa de la ecuación final justifican el conjunto de soluciones. La inyectividad de una función exterior no impide que la expresión interior tenga varias entradas con el mismo valor.
Un logaritmo de un cuadrado
Resuelve log₂(x²) = 2.
Dominio
x² > 0: x ≠ 0.Potencia equivalente
x² = 2² = 4.Raíces y comprobación
x = −2 y x = 2; ambos dan argumento cuatro.
x = ±2.
Reemplazar log₂(x²) por 2 log₂x sin dominio habría perdido la solución negativa.
Unicidad en una ecuación básica
Resuelve 3^(x−2) = 1 y explica por qué es única.
Misma base
Uno es 3⁰.
Inyectividad
x − 2 = 0.Ecuación lineal
x = 2, única solución de esa igualdad.
x = 2.
Al sustituir, 3⁰ = 1; no se han introducido pasos que pierdan o añadan valores.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Igualar bases
Resuelve 2^(x+1)=16.
Base común
16 = 2⁴.Inyectividad
Como la base dos es positiva y distinta de uno, x + 1 = 4.
Despejamos
x = 3.Comprobamos
2^(3+1) = 2⁴ = 16.
x=3.
2⁴=16.
EJEMPLO RESUELTO 2
Dominio logarítmico
Resuelve log₁₀(x−1)+log₁₀(x+1)=log₁₀8.
Dominio original
x − 1 > 0 y x + 1 > 0: queda x > 1.Unimos con la misma base
log₁₀[(x − 1)(x + 1)] = log₁₀8.Inyectividad
(x − 1)(x + 1) = 8, así que x² − 1 = 8.Candidatas
x² = 9 da x = −3 y x = 3.Filtramos y comprobamos
Solo tres cumple x > 1.Sus argumentos son dos y cuatro, positivos, y su producto es ocho.
x=3.
(3−1)(3+1)=8 y ambos argumentos son positivos.
Los símbolos que hemos usado
- a
- Base fija positiva distinta de uno en exponenciales o logaritmos.
- a^u=a^v
- Igualdad equivalente a u=v para una misma base válida.
- logₐu=v
- Igualdad equivalente a u=aᵛ, con u>0.
- ln
- Logaritmo natural, útil para cambio de base.
- D
- Dominio conjunto de todas las expresiones originales.
- t=aˣ
- Cambio de variable que exige t>0.
- Candidato
- Valor obtenido durante el despeje que debe revisarse en el dominio y la ecuación original.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →