Una sucesión es una lista con posiciones numeradas. En Fibonacci cada nuevo valor suma los dos anteriores. Vamos a construirla despacio, ver por qué aparece al contar ciertos caminos y distinguir la regla exacta de las aproximaciones de crecimiento.
Si necesitas repasar:
1. Una regla necesita valores iniciales para empezar
El índice dice en qué posición estamos; el término es el valor de esa posición. Una fórmula explícita calcula desde el índice. Una recurrencia calcula usando valores anteriores.
Si la recurrencia usa los dos términos anteriores, normalmente necesitamos dos datos iniciales. La frase «sumar los dos anteriores» no determina por sí sola una lista única.
Dos formas de construir la misma lista sencilla
Comparar aₙ=2n con a₀=0 y aₙ=aₙ₋₁+2.
Explícita
Para n=3: 2·3=6.Recurrencia
0,2,4,6: cada paso suma dos.
Comparar
Ambas dan la misma sucesión con ese inicio.
La fórmula y la recurrencia son dos descripciones.
Si cambiamos a₀ a uno, la segunda lista ya no empieza igual.
La misma recurrencia con otros inicios cambia el resultado
Sumar siempre los dos anteriores desde 0,1 y desde 2,1.
Primer inicio
0,1,1,2,3,5…
Segundo
2,1,3,4,7,11…
Conclusión
La regla coincide, pero los datos iniciales no.
Hay que declarar el comienzo.
Una coincidencia en un término no fuerza igualdad de las listas.
2. Nuestra convención empieza en F₀=0 y F₁=1
La lista arranca 0,1,1,2,3,5,8… y el cero ocupa el índice cero.
Algunas presentaciones omiten F₀ y muestran primero 1,1. Para evitar desplazamientos escribimos el índice junto a cada valor. Repetir el valor uno no repite su posición.
Construir los primeros términos sin saltar una casilla
Partir de F₀=0 y F₁=1.
F₂
1+0=1.F₃
F₂+F₁=1+1=2.F₄
F₃+F₂=2+1=3.
Los dos unos pertenecen a índices uno y dos.
F₃ vale dos, no tres por el nombre del índice.
Leer una posición concreta
Continuar hasta F₇.
Desde F₄=3
F₅=3+2=5.Siguiente
F₆=5+3=8.Último
F₇=8+5=13.
F₇=13 con nuestra convención.
No se cuenta el primer elemento de la lista como índice uno.
3. Para avanzar guardamos un par; para retroceder restamos
Si sabemos dos consecutivos, el siguiente sale sumándolos. El nuevo par conserva el segundo y el recién calculado. No hace falta recomenzar desde cero para cada paso.
Un cálculo que guarda los pares usa un número de sumas proporcional al índice; una recursión ingenua repetiría subproblemas. Al crecer los enteros, cada suma también cuesta más cifras.
Actualizar el par sin borrar el dato necesario
Tenemos (F₇,F₈)=(13,21).
Sumar
13+21=34.Nuevo par
(F₈,F₉)=(21,34).Otro paso
21+34=55 y el par pasa a (34,55).
Se conservan ambos valores antes de actualizar.
No se usan 34+34 por sobrescribir demasiado pronto el segundo dato.
Recuperar un término anterior
Fₙ₊₁=144 y Fₙ=89.
Regla
144=89+Fₙ₋₁.Despejar
Fₙ₋₁=144−89.Calcular
55.
Retroceder utiliza los dos consecutivos adecuados.
89+55=144 comprueba el regreso.
4. Contar por el último salto explica por qué aparece la recurrencia
Supongamos que subimos una escalera con saltos de uno o dos peldaños y que el orden cuenta. Toda secuencia que llega a n termina con un salto de uno desde n−1 o de dos desde n−2.
Los casos no se solapan porque tienen último salto diferente y cubren todas las posibilidades.
Hay que justificar esos casos, no reconocer Fibonacci solo por unos números parecidos.
Listar para entender qué estamos contando
Subir tres peldaños.
Secuencias
1+1+1, 1+2 y 2+1.
Orden
1+2 y 2+1 recorren los saltos en otro orden: se cuentan por separado.
Total
Tres formas ordenadas.
Si no contase el orden, sería otro recuento.
Las longitudes de los bloques de la figura suman tres en cada fila.
Separar por la última acción
Contar maneras de subir cuatro peldaños.
Terminar con uno
Cada secuencia de tres peldaños admite añadir ese uno: tres maneras.
Terminar con dos
Cada secuencia de dos admite añadir ese dos: dos maneras.
Sumar
S₄=S₃+S₂=3+2=5.
No se cuentan dos veces porque el último salto diferencia las ramas.
Las cinco secuencias son 1111,112,121,211,22.
5. La escalera empieza en uno y por eso desplaza el índice
S₀=1 cuenta una sola secuencia vacía: no hacer ningún salto para llegar a donde ya estamos.
Se prueba por inducción: si coinciden los dos valores previos, sus sumas también coinciden.
Tamaño cero no obliga a recuento cero
Contar formas para cero y un peldaño.
Cero
La secuencia vacía es una posibilidad: S₀=1.Uno
Solo el salto 1: S₁=1.Dos
S₂=S₁+S₀=2, las secuencias 11 y 2.
Las iniciales corresponden al problema que contamos.
Poner S₀=0 perdería la opción de un único salto doble.
El índice del peldaño no es el índice de Fibonacci
Contar seis peldaños.
Relación
S₆=F₇.Valor
F₇=13.Otro control
S₅+S₄=8+5=13.
Seis peldaños tienen trece secuencias, no F₆=8.
El desplazamiento proviene de las dos condiciones iniciales.
6. Una identidad para todos los índices necesita una prueba
La inducción comprueba el comienzo y explica cómo pasar de un caso al siguiente. Una lista larga de aciertos sugiere un patrón, pero no prueba por sí sola que continúe siempre.
, el caso n=0 es 0=1−1.La fórmula resume una suma que podemos revisar
Calcular F₀+…+F₆.
Fórmula
F₈−1=21−1.Resultado
20.
Comprobar lista
0+1+1+2+3+5+8=20.
La suma explícita verifica este caso.
La inducción del texto justifica todos los casos.
Ver el paso que mantiene el patrón
Pasar de la suma hasta F₆ a la suma hasta F₇.
Lo conocido
Hasta F₆ tenemos F₈−1.
Añadir
Sumamos F₇.
Recurrencia
F₈+F₇−1=F₉−1: justo la fórmula con n=7.
La misma cuenta con n en lugar de seis es el paso general.
Se usa una identidad de la recurrencia, no una coincidencia decimal.
7. La fórmula explícita combina dos potencias que cumplen la regla
Buscamos potencias tⁿ que cumplan la recurrencia.
Las dos potencias cumplen la regla, y sus combinaciones lineales también. La fórmula de Binet 
da F₀=0 y F₁=1; por la misma recurrencia e iniciales, coincide con Fibonacci para todo n≥0.
Comprobar los dos datos que seleccionan la sucesión
Usar la fórmula de Binet en n=0 y n=1.
Cero
(1−1)/√5=0.Uno
φ−ψ=√5, así que el cociente vale uno.Continuar
Como ambas potencias cumplen la recurrencia, sus términos siguientes quedan fijados.
La prueba combina regla e iniciales.
Los radicales no impiden que el resultado sea entero al coincidir con la sucesión.
Calcular un término mediante relaciones exactas
Hallar el valor de Binet para n=3.
Usar t²=t+1
t³=t²+t=2t+1 para t=φ o ψ.Restar
φ³−ψ³=2(φ−ψ).Dividir
2(φ−ψ)/√5=2=F₃.
No hacen falta aproximaciones de √5.
La simplificación conserva la igualdad exacta.
8. Crece casi geométricamente, pero no es una geométrica exacta
El error absoluto exacto al omitirlo tiene magnitud |ψ|ⁿ/√5.
Para n≥1, los cocientes Fₙ₊₁/Fₙ tienden a φ, pero no son todos iguales. Que un fenómeno real tenga un dibujo parecido no demuestra la recurrencia: el modelo necesita justificar sus estados, casos e iniciales.
Los cocientes iniciales ya descartan una geométrica exacta
Comparar términos desde F₂.
Primer cociente
F₃/F₂=2/1=2.Siguiente
F₄/F₃=3/2=1,5.Conclusión
No hay una razón constante, aunque luego se acerquen a φ.
Una tendencia no convierte la igualdad aproximada en exacta.
La fórmula de Binet conserva también ψⁿ.
Controlar qué se omite en una aproximación
Aproximar Fₙ por φⁿ/√5.
Diferencia exacta
Fₙ−φⁿ/√5=−ψⁿ/√5.Magnitud
Como |ψ|<1, su magnitud disminuye al aumentar n.Alcance
La cota se justifica por la fórmula, no por medir un dibujo de la naturaleza.
Los primeros términos siguen viniendo de una regla exacta.
Para n=0 la aproximación no vale cero exactamente: el término omitido es necesario.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Calcular con la regla
Halla F₈ con F₀=0 y F₁=1.
Convención
F₀=0 y F₁=1.Primeros
F₂=1, F₃=2, F₄=3.Continuar
F₅=5 y F₆=8.Siguiente
F₇=8+5=13.Pedido
F₈=13+8=21.Revisar índice
El primer cero es F₀, por lo que no desplazamos la posición.
21.
La posición se cuenta desde F₀, no desde el primer 1.
EJEMPLO RESUELTO 2
Escalera
Puedes subir uno o dos peldaños cada vez. ¿Cuántas formas ordenadas permiten subir 5 peldaños?
Definir
Sₙ cuenta secuencias ordenadas de saltos uno o dos.
Iniciales
S₀=1 por la secuencia vacía; S₁=1.Recurrencia
Último salto uno o dos: Sₙ=Sₙ₋₁+Sₙ₋₂.Calcular
S₂=2,S₃=3,S₄=5.Pedido
S₅=5+3=8.Comprobar
S₅=F₆=8 con las iniciales indicadas.
8 formas.
Equivale a F₆; el caso S₀=1 cuenta la secuencia vacía.
Los símbolos que hemos usado
- Fₙ
- Término de Fibonacci de índice entero n≥0.
- F₀=0,F₁=1
- Valores iniciales que fijan la convención de esta lección.
- Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂
- Recurrencia válida para n≥2.
- Sₙ
- Número de secuencias de pasos de tamaño uno o dos que suman n.
- φ=(1+√5)/2
- Raíz positiva de t²=t+1.
- ψ=(1−√5)/2
- La otra raíz de t²=t+1, de valor absoluto menor que uno.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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