Dominio y recorrido de una función

Si aplicamos «elevar al cuadrado» a las entradas −2, 0 y 2, obtenemos 4, 0 y 4. El conjunto de entradas es {−2,0,2}; el de resultados distintos es {0,4}. El 2 es una entrada de este ejemplo y el 4, una salida. No se intercambian aunque ambos sean números.

Llamamos dominio al conjunto de entradas admitidas, y recorrido o imagen al conjunto de salidas realmente obtenidas. D nombra el dominio y f(D), leído «imagen de D por f», nombra el recorrido. La imagen de una entrada concreta, por ejemplo f(2), es un solo resultado.

También podemos declarar un conjunto de llegada o codominio C. Es un conjunto que contiene todas las salidas, pero puede incluir valores que no aparezcan. Escribir f:D→C dice que la función toma entradas de D y produce salidas dentro de C; no dice que llegue a todo C.

La expresión 2x + 5 se puede calcular con cualquier real: negativos, cero, fracciones y positivos. Su dominio natural real es ℝ. «Natural» significa aquí todas las entradas para las que la expresión, tal como está escrita, tiene resultado real.

Un problema puede permitir solo una parte de ese conjunto. Si x mide un tiempo desde el inicio, puede declarar 0 ≤ x ≤ 4. Si cuenta objetos, puede exigir enteros. Usamos las condiciones declaradas junto con las condiciones de las operaciones; se tienen que cumplir todas.

Para escribir intervalos, un corchete incluye el extremo y un paréntesis lo excluye. [1,4] permite el 1 y el 4, además de todos los reales entre ellos. (1,4] excluye solo el 1. El símbolo ∞ indica que no hay extremo finito: nunca se incluye como si fuera un número.

En una fracción, exigimos que todo el denominador sea diferente de cero.

El motivo es que dividir a entre b pide un número que multiplicado por b produzca a; dividir entre cero no define un cociente único.

En una raíz de índice par, como √u, el número u dentro de la raíz debe ser no negativo si trabajamos en los reales. La raíz principal es la salida no negativa cuyo cuadrado vale u. √0 existe. Si esa raíz está en un denominador, además no puede valer cero: entonces su radicando debe ser estrictamente positivo.

Una raíz cúbica sí admite radicandos negativos: ∛(−8) = −2.

Un logaritmo real necesita argumento positivo. Por ejemplo, log₂(u) pregunta a qué exponente hay que elevar 2 para obtener u; las potencias reales de 2 son positivas. La base de un logaritmo debe ser positiva y diferente de 1. Si la base contiene x, también revisamos esas condiciones.

Un polinomio, formado por sumas y productos de potencias enteras no negativas de x, admite todo real. No buscamos exclusiones donde no hay una operación que las imponga.

Primero tomamos la raíz de x − 1 y después dividimos 1 por el resultado. Son dos operaciones encadenadas: la primera debe existir y su salida tiene que servir como entrada de la segunda. No basta con revisar solo el primer paso.

Para una composición f(g(x)), que significa aplicar primero g y después f, x debe ser una entrada permitida de g. Además, el resultado g(x) debe estar permitido en f. La condición de la función exterior se aplica al resultado intermedio completo.

También anotamos restricciones antes de cancelar factores.

Esa igualdad ayuda a calcular en las entradas permitidas. No autoriza a introducir 2 en el cociente original. Permitir después esa entrada define una extensión, una función con dominio mayor.

Probar cinco entradas puede sugerir un recorrido, pero no comprobarlo si quedan infinitas entradas por probar. Para f(x) = x² + 3, vemos que las salidas nunca bajan de 3 porque un cuadrado es no negativo. Esto descarta las salidas menores que 3.

Ahora falta asegurar que se obtiene todo lo propuesto. ¿Sale 4?

¿Sale 7?

Así no quedan huecos entre las salidas.

El recorrido necesita ambas direcciones: ninguna salida fuera del conjunto anunciado, y una entrada permitida para cada salida dentro. La letra y nombra una salida candidata. Al despejar una entrada en función de y, revisamos el dominio y las condiciones introducidas durante la cuenta.

En x² con dominio ℝ, las salidas son todos los números no negativos. En √x, con dominio [0,∞), las salidas también son todos los no negativos: para conseguir y ≥ 0 introducimos x = y². Los dominios son diferentes aunque los recorridos coincidan.

Si a todas las salidas les sumamos 4, el recorrido sube 4. Si las multiplicamos por 2, se duplican. Multiplicarlas por un número negativo cambia el sentido de las desigualdades: de u ≥ 0 se obtiene −2u ≤ 0. Si multiplicamos por cero, todas las salidas pasan a cero.

Podemos expresar esos cambios como a(x − h)² + k. Aquí a, h y k son números fijos y a ≠ 0: h indica dónde se anula el cuadrado, k es la salida en esa entrada y a multiplica al cuadrado.

Antes de usar esa conclusión en un dominio restringido comprobamos si h está permitido.

En la regla x + 1, cada salida tiene una sola entrada: para obtener y necesitamos x = y − 1. Si retiramos x = 2 del dominio, perdemos la salida 3 porque ninguna otra entrada la produce.

En el cuadrado, la salida 4 procede de 2 y de −2. Retirar solo 2 mantiene 4 en el recorrido gracias a −2. Para saber si desaparece una salida, buscamos todas sus preimágenes: todas las entradas que podrían producirla.

Un extremo abierto tampoco decide por sí solo toda la respuesta. Si se retira la entrada 1 del intervalo positivo usado por x², la salida 1 desaparece. Si hay otra entrada permitida que también produzca 1, podría mantenerse. Comprobamos la ecuación y el dominio juntos.

Para el dominio, recorremos las posiciones horizontales que tienen algún punto de la gráfica. Es como proyectar todos sus puntos hacia el eje x. Para el recorrido hacemos lo mismo hacia el eje y y reunimos las alturas que tienen algún punto.

Un punto lleno pertenece a la gráfica; uno vacío señala una exclusión en ese lugar. Antes de excluir su altura del recorrido buscamos si hay otro punto a esa misma altura. Antes de tomar el borde de la imagen como extremo del dominio, revisamos si el trazo continúa o si el enunciado declara un intervalo.

Una imagen recortada solo muestra parte de una curva. La fórmula y el dominio declarado deciden qué hay fuera. En un dibujo exacto con segmentos y extremos indicados podemos leer intervalos; en una curva aproximada, el dibujo orienta y la cuenta justifica los valores exactos.

Organizamos la cuenta en dos momentos. Primero, listamos las operaciones y las condiciones sobre la entrada x. El dominio conserva solo las entradas que pasan todos los filtros. Segundo, estudiamos la salida y manteniendo ese dominio: no copiamos una desigualdad sobre x como si fuera ya una desigualdad sobre y.

Una unión de intervalos puede describir el resultado final cuando queda un hueco. Eso no significa que hayamos unido las condiciones: las condiciones se cumplen simultáneamente.

En una función a tramos, cada fórmula se estudia solo donde su condición manda usarla. El dominio total reúne las entradas válidas de los tramos y el recorrido total reúne sus salidas. No imponemos a un tramo las restricciones de una fórmula que allí no se aplica.