Ecuaciones de rectas en el plano

Si damos una x, la primera calcula y; si probamos un punto, la segunda comprueba una condición. La recta es el conjunto de puntos, no los símbolos particulares de una de sus ecuaciones.

Multiplicar una ecuación por un número no nulo conserva sus soluciones: 4x − 2y = 0 describe la misma recta. No se exige que todos los coeficientes sean distintos de cero; sí hace falta una dirección geométrica válida.

Si A = (aₓ; aᵧ) está en la recta y u = (uₓ; uᵧ) es un director no nulo, cada punto se escribe X = A + tu, con t real. t = 0 recupera A; positivo avanza en un sentido y negativo en el contrario.

Las dos usan el mismo t. Un múltiplo no nulo de u describe la misma dirección, cambiando la velocidad con que t recorre la recta.

Los puntos X de una recta que pasa por A cumplen n · (X − A) = 0.

La condición a y b no simultáneamente cero distingue una recta de una igualdad constante que podría describir todo el plano o ningún punto.

Es un cociente de cambios con signo.

La forma punto–pendiente y − aᵧ = m(x − aₓ) sale de comparar el desplazamiento desde A con ese cociente. Una recta vertical tiene x constante y cambio horizontal cero: no tiene pendiente finita ni forma y = mx + b, aunque siga siendo una recta válida.

Si las dos componentes del director son distintas de cero, de x = aₓ + tuₓ e y = aᵧ + tuᵧ despejamos t: (x − aₓ)/uₓ = (y − aᵧ)/uᵧ. Es la forma continua. La igualdad conserva que ambas coordenadas proceden del mismo punto del recorrido.

Si una componente vale cero, no escribimos una división por ella. Esa coordenada queda fija y conservamos la otra relación o la paramétrica.

En forma general probamos las dos coordenadas y vemos si la suma da cero. En forma paramétrica buscamos un mismo t para todas las coordenadas. No basta que cada coordenada pueda obtenerse con un parámetro diferente.

Para intersectar dos rectas resolvemos sus ecuaciones a la vez. Puede haber un punto, ninguno o toda una recta si coinciden. La clasificación y la comprobación final forman parte de la respuesta.

El ángulo menor entre dos rectas no orientadas usa el valor absoluto del producto de directores: cos α = |u · v|/(‖u‖‖v‖), con 0 ≤ α ≤ 90°. Invertir un director no cambia la recta y tampoco debe cambiar ese ángulo menor.

La normal (a; b) explica el denominador: necesitamos una componente en una dirección unitaria. La distancia detallada y el pie se estudiarán después.

Desde dos puntos distintos hallamos su diferencia para obtener un director. Desde una normal no nula obtenemos la ecuación con un punto. Desde una pendiente finita usamos punto–pendiente. No todos los datos determinan una recta única: un solo punto sin dirección deja muchas posibilidades.

La verificación comprueba que el punto o los puntos dados pertenecen y que el director o pendiente es el pedido. Dos ecuaciones generales representan la misma recta si sus tres coeficientes son proporcionales mediante un factor no nulo.