Coordenadas y distancias en el plano

Dibujamos dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen O = (0; 0). La horizontal es el eje x y la vertical el eje y. En nuestros dibujos, derecha y arriba son sentidos positivos; izquierda y abajo, negativos. Cada cuadro representa una unidad en los dos ejes.

P = (3; −2) se lee «x vale tres; y vale menos dos». Partimos del origen, buscamos x = 3 en horizontal y después la altura y = −2. El punto queda donde se encuentran esas posiciones. Usamos punto y coma para separar coordenadas y evitar confundirlo con una coma decimal.

La primera coordenada siempre corresponde a x. Cambiar su orden suele cambiar el punto: (3; −2) y (−2; 3) están en lugares distintos. La letra P solo es su nombre; no es una tercera coordenada.

Seguimos en sentido antihorario: segundo arriba a la izquierda, tercero abajo a la izquierda y cuarto abajo a la derecha. Los signos permiten reconocer la región sin adivinar por el nombre.

Si x = 0, no nos separamos horizontalmente del origen y el punto está en el eje y.

Ninguno de estos puntos pertenece a un cuadrante. El origen está en ambos ejes y tampoco tiene cuadrante.

La letra Δ, delta, significa aquí «cambio».

Los subíndices 1 y 2 pueden nombrar inicio y final: no son potencias. Al restar un número negativo lo encerramos entre paréntesis.

El vector lleva signo porque indica dirección. La distancia entre los extremos será una longitud no negativa y la misma en los dos sentidos.

Si dos puntos tienen la misma y, están a la misma altura. Entre (−3; 2) y (2; 2) contamos cinco unidades horizontales. La resta final menos inicial da 2 − (−3) = 5; en sentido contrario da −5, pero la longitud sigue siendo cinco.

El valor absoluto |a| expresa la magnitud sin el signo de dirección.

Si ambas coordenadas coinciden, los puntos son el mismo y d = 0.

Entre A = (−2; 1) y B = (4; 5), los cambios seis y cuatro forman los catetos del dibujo. Son perpendiculares porque lo son los ejes.

Para cualquier par de puntos, el mismo razonamiento da d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. Dentro de cada paréntesis restamos coordenadas del mismo eje. Después elevamos al cuadrado, sumamos y, al final, extraemos la raíz no negativa.

Sumar |Δx| + |Δy| mide el trayecto por dos lados, no el segmento recto. En este dibujo ese trayecto mide diez y la distancia recta aproximadamente 7,21. La fórmula supone ejes perpendiculares y unidades compatibles de igual escala; una gráfica de tiempo y dinero no representa sin más estas distancias físicas.

En una recta, entre −2 y 6 hay ocho unidades. La mitad del recorrido son cuatro; saliendo de −2 llegamos a 2. También podemos sumar los extremos y dividir entre dos: (−2 + 6)/2 = 2. Ese promedio de dos valores localiza su posición media.

La fórmula no suma las distancias al cero: suma los números con sus signos. Entre −5 y −1 el punto medio debe seguir siendo negativo. No hace falta que el promedio sea entero.

Tiene dos coordenadas porque sigue siendo un punto del plano. Otra forma de entenderla: salimos de A y avanzamos la mitad del desplazamiento AB.

Decir «está igual de lejos de A y B» no basta. En el dibujo, Q = (0; 5) está a cinco unidades de A = (−3; 1) y de B = (3; 1), pero no está en AB. En cambio M = (0; 1) sí divide ese segmento por la mitad.

Los puntos equidistantes de A y B forman la mediatriz: la recta perpendicular a AB por su punto medio. Para comprobar un candidato a punto medio podemos verificar M − A = B − M. Dos vectores iguales garantizan dirección y tamaño iguales, además de que M queda entre los extremos.

Antes de operar, sitúa aproximadamente los puntos. Anticipa si el cambio será a derecha o izquierda, arriba o abajo. La distancia no puede ser negativa y debe ser al menos tan grande como cualquiera de los dos cambios en magnitud. La raíz exacta se conserva hasta que se pida una aproximación.

Para un punto medio, cada coordenada debe quedar entre las coordenadas correspondientes de los extremos. También podemos reconstruir un extremo desconocido: si conocemos A y M, entonces B = 2M − A, por componentes. Sale de que los dos desplazamientos de media longitud son iguales, no de memorizar otra fórmula sin dibujo.