Superficies y volúmenes

Un cuadrado de lado un centímetro tiene área 1 cm². Un cubito de arista un centímetro ocupa 1 cm³. El dos y el tres indican cuántas dimensiones intervienen: lado por lado para una superficie; largo por ancho por alto para el espacio.

Un cubito de 1 cm³ tiene seis caras de 1 cm²: su superficie es 6 cm². No podemos decir que su volumen sea seis porque tenga seis caras. Área y volumen responden a preguntas distintas, aunque describan el mismo objeto.

En el dibujo hay tres posiciones por fila, dos filas por capa y dos capas. Una capa contiene 3 · 2 = 6 cubitos; dos capas contienen doce. Para calcular medidas físicas primero pondremos todas las longitudes en la misma unidad.

Si la base tiene área B y el prisma tiene altura perpendicular h, su volumen es V = B · h. B no es el largo de un lado: es el área completa de la base. En un prisma rectangular de lados de base cuatro y tres, B = 12 cm²; con altura dos, V = 24 cm³.

La base también puede ser triangular: primero calculamos el área del triángulo, después la multiplicamos por la altura del prisma. La altura de ese triángulo está dentro de la base; no se confunde con la separación entre las dos bases.

La regla V = B · h vale también para un prisma oblicuo si h es la separación perpendicular entre bases. La arista inclinada no reemplaza a h. Las secciones paralelas a las bases mantienen la misma área, aunque estén desplazadas lateralmente.

Una caja rectangular cerrada de dimensiones a, b y h tiene dos caras de área ab, dos de ah y dos de bh.

No multiplicamos las tres longitudes para encontrar una superficie: ese producto es el volumen.

En un prisma recto cualquiera, las caras laterales son rectángulos de altura h. Al sumar sus bases recorremos el perímetro P de la base. Así, el área lateral es P · h y el área total cerrada S = 2B + P · h. Esta expresión lateral usa un prisma recto; en uno oblicuo habrá que calcular las caras con sus alturas correspondientes.

Si la caja no tiene tapa, quitamos el área de esa cara. Si solo se pinta el lateral, no añadimos las bases. «Superficie total» necesita que el enunciado diga qué piezas existen y qué partes se quieren cubrir.

Radio r y altura h son longitudes diferentes: el radio pertenece al disco y la altura separa las bases.

Al abrir el lateral aparece un rectángulo de altura h y anchura igual a la circunferencia de la base, 2πr. Por eso su área es 2πrh. Para un cilindro cerrado añadimos los dos discos: S = 2πrh + 2πr².

En el desarrollo, r = 3 cm y h = 5 cm: el lateral mide (6π) · 5 = 30π cm²; los dos discos, 2 · 9π = 18π cm². Superficie total 48π cm². Su volumen sería 9π · 5 = 45π cm³: una cantidad distinta. π es irracional; conservarlo da una respuesta exacta.

Una pirámide se va estrechando hacia el ápice; sus capas no mantienen el área de la base.

Comparada con un prisma de la misma base y la misma altura perpendicular, ocupa exactamente un tercio de su volumen.

El cono cumple la misma relación con el cilindro correspondiente: V = πr²h/3. No dividimos el radio entre tres ni suponemos que el cuerpo tenga un tercio de la altura: el factor un tercio se aplica al producto completo.

La relación no se deduce solo porque la figura termine en punta. Como caso que ayuda a entenderla, un cubo puede dividirse desde un vértice en tres pirámides de igual volumen, con base en sus tres caras opuestas: cada una tiene base a² y altura a, y juntas llenan a³.

La validez para cualquier base y altura es el teorema general; ese caso por sí solo no sería su demostración completa.

En una pirámide regular, cada cara lateral es un triángulo cuya altura es la apotema lateral aₗ. Si sumamos base de cada triángulo por esa altura común y dividimos entre dos, obtenemos área lateral = P · aₗ/2, con P el perímetro de la base. El total cerrado añade una sola base: S = B + P · aₗ/2.

La altura h del cuerpo baja al centro de la base; aₗ llega al punto medio de un lado. Junto con la apotema de la base forman un triángulo rectángulo: aₗ² = h² + a base². En una pirámide cuadrada de lado seis y altura cuatro, la apotema de la base es tres, así que aₗ = √(4² + 3²) = 5.

Si la pirámide no es regular, no damos por hecho que todas las caras compartan la misma altura. Se calculan y suman las áreas de las caras concretas.

El cono recto del dibujo tiene r = 3, h = 4 y generatriz g = 5. La altura y el radio son perpendiculares; por Pitágoras, g² = h² + r². La generatriz es más larga que la altura porque llega a la circunferencia, no al centro de la base.

Al abrir el lateral sin estirarlo obtenemos un sector de círculo de radio g. Su arco debe medir la circunferencia de la base: 2πr. Como el área de un sector es longitud de arco por radio dividida entre dos, el área lateral es (2πr)g/2 = πrg.

Para una esfera de radio r, el área de su superficie es S = 4πr² y el volumen encerrado V = 4πr³/3. Son fórmulas de dos teoremas geométricos: la superficie equivale al área de cuatro discos máximos, mientras el volumen es dos tercios del cilindro de radio r y altura 2r que la rodea ajustadamente.

Estas comparaciones ayudan a interpretar las fórmulas; el dibujo por sí solo no las demuestra. No obtenemos la superficie multiplicando por seis como en un cubo: una esfera no tiene seis caras planas. Si se da diámetro, primero lo dividimos entre dos. Mantenemos π exacto hasta la aproximación final.

Si dos cuerpos no se solapan en su interior, sus volúmenes se suman. Si quitamos una cavidad, restamos el volumen retirado. Si se superponen, sumar sin descontar la parte común la contaría dos veces.

La superficie exterior se cuenta con otra regla: una cara de contacto entre dos piezas queda escondida por ambos lados. Al sumar superficies de dos cubos unidos por una cara completa, esa cara se había contado dos veces; restamos las dos copias. Una cavidad puede añadir paredes interiores, así que restar volumen no significa restar siempre superficie.

Antes de calcular aclaramos qué frontera interesa: solo el exterior, todas las paredes accesibles o también una cavidad interior cerrada. La palabra «superficie» no autoriza a sumar piezas que quedan dentro sin exponerlo.

Si multiplicamos todas las longitudes por k > 0, las superficies se multiplican por k² y los volúmenes por k³. Duplicar las dimensiones de una caja cuadruplica el material de superficie y multiplica por ocho el espacio. Si solo cambia una dimensión, no aplicamos esos factores como si todo fuera semejante.

Convertir unidades también afecta al exponente.

En un recipiente, capacidad interior y volumen exterior pueden diferir si las paredes tienen grosor.

Revisa que una fórmula de superficie combine dos longitudes y una de volumen, tres. Por ejemplo, r · h produce longitud al cuadrado y no puede ser por sí solo un volumen. Esta revisión detecta errores de dimensión, aunque no detecta todos los factores numéricos equivocados.