Experimentos numéricos, convergencia y visualización

Para comprobar orden, fijamos problema, método, frontera, norma y tolerancias, y cambiamos el paso de malla. Para comparar coste a precisión dada, la pregunta y las medidas son otras. Cambiar a la vez problema y algoritmo impide atribuir una diferencia a una causa concreta.

Una solución manufacturada elige primero u y calcula a partir de ella el segundo miembro y las fronteras. Así conocemos la referencia sin depender de otro algoritmo que podría compartir errores. Después distinguimos el cálculo experimental de una prueba de convergencia para toda una familia.

La norma infinito toma la mayor diferencia nodal. La euclídea suma cuadrados y extrae raíz; sin una escala, puede crecer solo porque añadimos componentes. Una norma discreta con pesos de cuadratura puede aproximar un tamaño L² continuo, pero hay que declarar los pesos.

Tampoco se intercambian error nodal, error de una interpolación completa y error de energía. Si los nodos coinciden exactamente, una medida sobre todo el intervalo puede seguir siendo positiva. La tabla debe indicar qué objeto está comparando.

El error absoluto conserva unidades. El relativo divide por el tamaño de una referencia no nula y no tiene unidades. La misma discrepancia absoluta puede ser insignificante para una magnitud grande e importante para una muy pequeña.

Cuando la referencia vale cero no existe ese cociente relativo. Podemos usar una tolerancia absoluta o una escala física elegida, indicando cuál. Una comparación mixta |a−b|≤atol+rtol|b| explicita la decisión.

Si E(h)≈Chᵖ con C>0 y domina el mismo término en ambas mallas, E(h)/E(h/2)≈2ᵖ.

Para un refinamiento de factor r>1 se divide entre logr. El cociente de logaritmos permite usar cualquier misma base válida.

Los errores deben ser positivos y medir lo mismo con la misma referencia. Si solo comparamos dos aproximaciones, necesitamos además una expansión compatible del error para estimar precisión por diferencias. No se etiqueta cualquier diferencia entre mallas como error exacto.

En mallas gruesas pueden pesar términos de orden superior, capas de la solución o geometría aún mal resuelta. En las muy finas pueden dominar redondeo y tolerancias. Un único cociente no identifica todos esos regímenes.

Observamos varias filas buscando una tendencia compatible con el análisis. Un gráfico recto durante cierto rango es evidencia de una ley en ese rango, no una demostración de convergencia para toda malla ni de validez del modelo físico.

Se usa este signo de error en toda la sección; con la convención opuesta aparece un signo menos. La norma del inverso relaciona tamaño de residual y error.

La condición relativa y la escala absoluta responden preguntas diferentes. Un sistema escalar no nulo tiene número de condición relativo uno, aunque una A muy pequeña amplifique el error absoluto al invertirla. La salida del programa debe decir qué residual y tolerancia usó.

En un gráfico logarítmico de E frente a h, la pendiente es p cuando h crece hacia la derecha. Frente a 1/h, la pendiente cambia a −p. Frente a un número total de puntos que escala como h⁻ᵈ, pasa a −p/d.

Una gráfica de soluciones superpuestas puede esconder discrepancias pequeñas. Añadimos una gráfica del error y una tabla con norma y referencia. Los segmentos entre datos son una ayuda visual; no presentan nuevos resultados calculados entre las mallas ensayadas.

Guardamos problema y datos, método, h, número de incógnitas, norma y error, referencia, residual, tolerancias, estado de salida, tiempo y memoria cuando importan. Si la referencia es aproximada se documenta su propia precisión. El orden observado se informa solo donde tenga sentido calcularlo.

Una tabla con varias mallas permite comparar el coste de alcanzar la precisión pedida. La cantidad de trabajo por nodo, preparación, iteraciones y reutilización puede cambiar el balance. Los modelos de coste que usemos deben distinguirse de tiempos realmente medidos en un entorno declarado.