Transformada de Laplace y resolución de ecuaciones

Es la versión unilateral: no integra tiempos negativos. Los datos iniciales serán por la derecha, f(0+). Los impulsos en el origen necesitan otra definición y no se añaden silenciosamente a esta convención.

El factor exp(−σt) cambia el tamaño y exp(−iωt) oscila. La parte real puede amortiguar el crecimiento lo suficiente para obtener área finita. s es un parámetro de una integral, no una sustitución de la letra t. La transformada es una función de ese parámetro junto con su región de convergencia.

Una condición suficiente es que f sea continua por tramos en intervalos finitos, integrable cerca de cero y de orden exponencial: para tiempos grandes, |f(t)|≤Mexp(at). Entonces la integral converge absolutamente si Re(s)>a, al comparar con Mexp(−(Re(s)−a)t). Esa cota da un semiplano suficiente, que puede ser menor que la región real de la función.

La fracción obtenida por álgebra puede tener valores fuera de la región donde representa la integral. Una continuación analítica no es la misma afirmación que convergencia de la integral original. Tampoco toda función continua tiene orden exponencial: hay crecimientos que ninguna amortiguación exp(−σt), con σ finito, consigue controlar.

Si I_n=∫₀∞tⁿexp(−st)dt, integrar por partes da I_n=(n/s)I_(n−1) para n≥1 en ese mismo semiplano; los términos de frontera se anulan.

El factorial viene de repetir las multiplicaciones n, n−1,…,1.

La linealidad permite combinar funciones en una región común. Además L{exp(at)f(t)}(s)=F(s−a), porque los exponentes se suman. Para a real desplaza el semiplano horizontalmente. Por Euler, L{cos(bt)}=s/(s²+b²) y L{sin(bt)}=b/(s²+b²) para b real y Re(s)>0; la fórmula debe conservar el b del numerador del seno.

Con regularidad suficiente, como f localmente absolutamente continua y crecimiento adecuado de f y f′, integrar por partes da L{f′}=[f exp(−st)]₀∞+sF=sF−f(0+), en un semiplano donde la frontera infinita se anula. El signo menos viene del extremo inferior. Omitirlo normalmente cambia el problema inicial.

Cada dato debe tener su lugar. Una discontinuidad requiere tratar los tramos y, si corresponde, impulsos distribucionales: no se aplica la fórmula ordinaria a una señal con salto fingiendo que es derivable en todo punto.

El orden es: escribir ecuación y datos; transformar cada término; reunir los factores de Y(s); despejar; invertir; comprobar en tiempo. Una tabla ayuda a reconocer formas conocidas, pero no reemplaza ese recorrido. Las fracciones simples se eligen para convertir el resultado en una suma de transformadas ya comprendidas.

La unicidad de Laplace requiere una clase adecuada, como funciones continuas por tramos y de orden exponencial; las integrales no distinguen cambios aislados. Para una solución continua de una ecuación ordinaria con datos fijados, la comprobación temporal elimina esa ambigüedad puntual. El dominio t≥0 y el semiplano deben conservarse durante la resolución.

Sea u(t−T) el escalón que vale cero antes de T y uno después; su valor aislado en T no afecta a la transformada.

El escalón importa: no se evalúa f antes de su comienzo.

La convolución causal (f*g)(t)=∫₀ᵗf(τ)g(t−τ)dτ se transforma en FG cuando el amortiguamiento permite las integrales y Fubini, por ejemplo para funciones de orden exponencial en un semiplano común suficiente. En una ecuación con dato inicial, la respuesta a la entrada se añade a la contribución del estado inicial; el producto FG solo no borra esa información.

La transformada bilateral integra toda ℝ y puede asociar una misma fracción a señales de lados temporales distintos. La unilateral de esta lección integra desde cero y conserva datos iniciales en las derivadas. No mezclamos una región bilateral con fórmulas unilaterales sin indicar el cambio.

Para una señal continua por la derecha en cero y de crecimiento adecuado, el teorema del valor inicial permite lim real s→+∞ sF(s)=f(0+). El valor final tiene condiciones distintas. En el caso racional propio ordinario, un criterio suficiente es que todos los polos de sF estén estrictamente en el semiplano izquierdo; entonces lim_t→∞f(t)=lim_s→0sF(s).

Polos imaginarios o derechos invalidan ese criterio. La estabilidad interna de un modelo de estados necesita además estudiar sus modos, incluidos los que una función externa podría ocultar.

Después de invertir, derivamos la función candidata y la sustituimos en la ecuación. Revisamos cada dato inicial y, para entradas por tramos, cada intervalo y sus uniones. Una respuesta puede satisfacer la ecuación homogénea y fallar el dato inicial; otra puede coincidir al inicio y fallar la ecuación.

Son controles independientes.

También es útil contrastar con un método de EDO, como factor integrante, o volver a transformar la respuesta. Se mantienen región y clase de funciones. Laplace organiza la información del problema completo; no reemplaza una solución por una fracción sin interpretación temporal.