Aritmética de punto flotante y propagación de errores

Un formato de punto flotante escribe un signo, una parte significativa y un exponente. En base dos, un número normalizado tiene forma ±(1+b₁/2+b₂/4+…)·2ᵉ, donde cada bᵢ es cero o uno. Si la precisión es p=3, solo guardamos el uno inicial y dos bits después del punto.

El exponente permite mover la escala, pero no añade cifras significativas.

Redondear al más cercano significa elegir el representable con menor distancia al valor exacto. En los empates usaremos significando entero par. No todos los decimales finitos caben en binario: 1/10 tiene un factor cinco en su denominador reducido; una fracción tiene expansión binaria finita exactamente cuando su denominador es una potencia de dos.

Si x es el valor de referencia y a la aproximación, el error absoluto es |a−x|.

Para expresarlo en porcentaje multiplicamos por cien. El denominador es el valor de referencia, no la aproximación: cambiarlo define otra medida.

Un error absoluto pequeño puede ser grande respecto de un valor muy pequeño. En cero no existe el error relativo usual. Para aceptar aproximaciones cerca y lejos de cero se puede fijar |a−x|≤atol+rtol·|x|, con tolerancia absoluta y relativa no negativas y unidades coherentes. Es un criterio elegido para la aplicación, no una garantía automática de exactitud.

Para una operación básica correctamente redondeada al más cercano escribimos fl(a∘b)=(a∘b)(1+δ), |δ|≤u, si el resultado está en el rango normal y no hay desbordamiento. u es el redondeo unitario del formato: en base β y precisión p, u=(1/2)β^(1−p). No es el error total de un programa ni presupone errores independientes.

En el formato binary64 de Number, la precisión normal es de 53 bits: u=2⁻⁵³. La distancia del uno al siguiente representable mayor es 2⁻⁵², distinta de u. Los subnormales permiten valores más próximos a cero, pero allí una cota absoluta puede sustituir a la relativa. Un resultado fuera del rango finito tampoco satisface este modelo.

Absorción significa que una contribución es demasiado pequeña para cambiar el número representable grande al que se añade. No se ha demostrado que valga cero matemáticamente: simplemente el resultado redondeado coincide con el sumando grande.

En aritmética real podemos reagrupar sumas; en punto flotante cada operación intermedia se redondea. Agrupar magnitudes parecidas o usar sumas compensadas puede reducir errores en ciertos casos, pero no hace exacta cualquier suma ni elimina los límites de rango. Siempre declararemos el formato del ejemplo.

Al restar números cercanos desaparecen muchas cifras comunes. Si los datos de entrada ya estaban redondeados, el resultado pequeño puede quedar dominado por esos errores. La última resta incluso puede ser exacta entre los números almacenados: el error se mide respecto de los datos ideales.

Sean datos ideales x, y y perturbaciones Δx, Δy. La diferencia calculada sin nuevo redondeo es (x−y)+(Δx−Δy). Su error absoluto es a lo sumo |Δx|+|Δy|. Si |x−y| es diminuto, el cociente relativo puede ser grande. Esta sensibilidad no se arregla diciendo que se han impreso muchas cifras.

La expresión lineal ayuda a estimar cambios pequeños, pero no es una igualdad exacta salvo casos particulares. En varias entradas sumamos las contribuciones de las derivadas parciales. Las unidades de cada término deben ser las de la salida.

Hay otra herramienta para cadenas de factores de redondeo: si cada |δᵢ|≤u y nu<1, entonces ∏ᵢ₌₁ⁿ(1+δᵢ)=1+θₙ con |θₙ|≤γₙ=nu/(1−nu). Una prueba acota por (1±u)ⁿ: abajo, Bernoulli da (1−u)ⁿ≥1−nu; arriba, el binomio y la serie geométrica dan (1+u)ⁿ≤1/(1−nu). No se supone independencia. Antes de aplicar γₙ hay que justificar que el algoritmo produce esa estructura de factores; n no es sin más el número de líneas del programa.

El denominador es al menos uno, así no se anula. Cerca de h=0 la forma original resta cantidades próximas; la segunda conserva h en el numerador. Las expresiones coinciden en aritmética real, pero pueden producir errores diferentes al redondear.

Reformular no recupera un dato que ya se perdió. Si nos entregan solo x=fl(1+h)=1, sin conservar h, no podemos deducir qué incremento pequeño había. Tampoco se afirma que todas las bibliotecas evalúen cada raíz cuadrada con el mismo redondeo: el modelo usado debe quedar explícito.

Distinguimos cuatro objetos: dato ideal, representación de entrada, operaciones ejecutadas y número mostrado. Redondear la impresión no cambia lo que se calculó internamente. Más cifras visibles tampoco certifican más cifras correctas. Podemos usar fracciones exactas, cotas analíticas, intervalos o una reformulación independiente para contrastar el resultado.

Repetir con más precisión o con otra fórmula es útil para detectar problemas; la coincidencia por sí sola no demuestra exactitud, pues los dos caminos pueden compartir el mismo error de entrada o la misma suposición equivocada. Siempre indicaremos qué referencia se usa y bajo qué condiciones da una cota.