Un perfil puede desplazarse conservando su forma, ensancharse al difundirse o dividirse en dos ondas. No son tres nombres para el mismo fenómeno. Empezaremos mirando qué cambia con la posición y qué cambia con el tiempo; después construiremos ejemplos y comprobaremos su ecuación, sus datos y sus fronteras.
Si necesitas repasar:
1. Un campo depende de posición y tiempo, y cada derivada fija la otra variable
u(x, t) da un valor en cada posición e instante. uₜ mide el cambio temporal en un lugar fijo. uₓ compara posiciones al mismo tiempo y uₓₓ mide curvatura del perfil. No se identifica uₓₓ con una velocidad de viaje.
El dominio también forma parte del problema. En toda la recta no hay extremos finitos; en un intervalo, los valores o flujos de borde pueden cambiar la evolución. Para soluciones clásicas que llegan continuamente al instante inicial, los datos iniciales y de frontera deben ser compatibles.
Derivar respecto de una variable sin mover la otra
Ejemplo adimensional u(x, t)=x²+3xt.
Tiempo fijo en posición
uₜ=3x.En x=2, t=1 vale seis.Espacio a tiempo fijo
uₓ=2x+3t; en ese punto vale siete.Curvatura
uₓₓ=2.Los tres valores describen operaciones distintas y no son intercambiables.
La variable respecto de la que derivamos decide qué se conserva como constante.
Se declaró adimensional el ejemplo para no sumar magnitudes físicas incompatibles.
Un modo puede cumplir una frontera y fallar otra
u(x, t)=exp(−Dt)sinx en 0≤x≤π, con D>0.
Ecuación
uₜ=−Du y uₓₓ=−u, así satisface uₜ=D uₓₓ.Dirichlet
u(0, t)=u(π, t)=0: cumple extremos fijados a cero.Flujo
uₓ=exp(−Dt)cosx no es cero en ambos extremos.No satisface un problema de Neumann homogéneo aunque la ecuación interior sea la misma.
Ecuación y frontera se verifican por separado.
El dato inicial correspondiente es sinx, compatible con esos extremos de Dirichlet.
2. El transporte busca de dónde viene cada punto del perfil
El valor permanece constante sobre esa trayectoria, llamada característica.
Con dato u(x,0)=f(x) en la recta, el origen de la característica que llega a (x, t) es x−ct.
Para c positivo el perfil se mueve a la derecha; para negativo, a la izquierda. La fórmula clásica necesita f diferenciable; para esquinas se especifica el marco débil apropiado.
Seguir el máximo evita equivocarse de signo
f(x)=max(1−|x|,0), velocidad c=2 y tiempo t=1.
Origen
u(x,1)=f(x−2).El máximo inicial estaba en cero.
Destino
El máximo aparece cuando x−2=0, es decir, x=2.El soporte pasa de [−1,1] a [1,3].
Valores
u(2,1)=1 y u(0,1)=0.El triángulo conserva altura y anchura; por sus esquinas se interpreta débilmente en todo el dominio, clásicamente en las zonas suaves.
El desplazamiento es dos hacia la derecha.
Escribir f(x+2) habría movido ese máximo al lado contrario.
Una velocidad negativa cambia el sentido, no la regla del origen
f(x)=exp(−x²), c=−2.
Fórmula
u(x, t)=exp[−(x+2t)²].Máximo
Se sitúa en x=−2t, moviéndose a la izquierda.Punto
En x=−1, t=1, el origen era x−ct=1; por tanto u=exp(−1).Derivar da uₜ−2uₓ=0 en toda la recta.
La misma regla x−ct funciona con el signo real de c.
La rapidez es |c|; la velocidad conserva su sentido.
3. En un intervalo se prescribe por dónde entra la información
Con c>0 en [0, L], una característica retrocedida puede llegar al dato inicial o al extremo izquierdo. Allí se prescribe el dato entrante g(t). El extremo derecho recibe la información que viaja dentro; imponer otro valor arbitrario puede ser incompatible.
Esta selección depende del signo y del dominio, no de que una ecuación sea «de una variable espacial». Un cambio de velocidad o un modelo no lineal requiere volver a estudiar sus características.
Decidir si usamos el dato inicial o la entrada
0≤x≤3, c=2, dato inicial f=1 y entrada izquierda g(t)=1+t² para t≥0.
Aún desde el inicio
Si t≤x/2, x−2t≥0 y u(x, t)=1.Desde la frontera
Si t>x/2, la trayectoria entró en tiempo t entrada=t−x/2.Entonces u=1+(t−x/2)².Ejemplo
En x=1, t=1 se usa entrada en 1/2 y sale u=5/4.Los datos coinciden en la esquina y sus primeras pendientes también, de modo que esta expresión por tramos es C¹.
El punto interior no siempre procede del instante cero.
En x=2, t=1/2 todavía llega del dato inicial y vale uno.
Un valor de salida arbitrario puede contradecir lo que llega
El mismo problema, pero alguien exige además u(3, t)=0 para todo t.
Antes de la llegada
Para 0<t<3/2, la característica viene del dato inicial y u(3, t)=1.
Después
En t=2, viene de entrada en 1/2 y u(3,2)=5/4.Incompatibilidad
Ninguno de esos valores es cero. No se resuelve conservando ambos datos arbitrarios; hay que formular una frontera coherente con la dirección de entrada.
El número de condiciones no se decide sumando una por cada extremo sin analizar el transporte.
La contradicción se ha mostrado sobre la solución determinada por datos entrantes compatibles.
4. La difusión usa curvatura y ensancha un perfil, sin una velocidad D
Si el flujo es J=−D uₓ y no hay producción, el balance uₜ+Jₓ=0 da uₜ=D uₓₓ para D constante positivo. Cerca de un máximo suave la curvatura suele ser negativa y el valor disminuye; otras zonas pueden aumentar. D tiene dimensión L²/T.
En la recta, una gaussiana inicial exp(−x²) en variables normalizadas evoluciona como u=exp[−x²/a]/√a, con a=1+4Dt. El centro permanece en cero, la anchura crece y la altura baja. Los argumentos exponenciales se entienden con las escalas normalizadas declaradas.
Calcular altura y anchura de una gaussiana difundida
D=1/2 y t=1, con dato inicial exp(−x²).
Escala
a=1+4·(1/2)·1=3.Perfil
u(x,1)=exp(−x²/3)/√3.El máximo en cero vale 1/√3, en vez de uno.
Masa
Al cambiar variable x=√a z, ∫ sobre R de u dx=∫exp(−z²)dz=√π.Bajar el pico no significa perder masa en esta recta sin fuentes.
La difusión reparte el contenido en una franja más ancha.
Las colas fuera de la ventana dibujada no se declaran cero.
Difundir no significa que todo punto disminuya
En t=0, u(x,0)=exp(−x²).
Curvatura
uₓₓ=(4x²−2)exp(−x²).Centro
En x=0, uₜ=D uₓₓ=−2D, por lo que el pico empieza bajando.Zona lateral
En x=1, uₜ=2D/e>0: ese punto empieza subiendo.Recibe parte de la redistribución del perfil.
La curvatura local explica el signo del cambio temporal.
No se compara D con una velocidad de traslación: sus unidades son diferentes.
5. Los modos muestran qué frecuencias se atenúan y qué permite el borde
Para a(t)cos(kx), la segunda derivada espacial es −k²a(t)cos(kx).
El cuadrado de k explica por qué las variaciones espaciales rápidas decaen antes.
Una componente constante tiene k=0 y no decae en dominios compatibles. La conservación de la integral total requiere que no exista flujo neto por el borde. Un valor impuesto de Dirichlet puede permitir salida aunque el dato de valor sea cero.
Una combinación periódica pierde detalle rápido antes que el lento
En un periodo 2π, D=1/2 y dato inicial 2+cosx+(1/2)cos3x.
Cada modo
El constante queda dos, el coseno de k=1 lleva exp(−t/2) y el de k=3 lleva exp(−9t/2).
Solución
u=2+exp(−t/2)cosx+(1/2)exp(−9t/2)cos3x.Contenido
La integral sobre un periodo sigue siendo 4π. La norma cuadrática al cuadrado es 8π+πexp(−t)+(π/4)exp(−9t), que disminuye hacia 8π.
Conservar masa y disminuir variación cuadrática son compatibles.
Se usa frontera periódica y ortogonalidad sobre un periodo completo.
Dirichlet cero puede permitir pérdida por flujo de frontera
En [0, π], u=exp(−Dt)sinx, con extremos cero.
Masa
M(t)=∫₀πu dx=2exp(−Dt), que disminuye.Flujos
J=−Duₓ: J(0)=−Dexp(−Dt) y J(π)=Dexp(−Dt).Balance
M′=−[J(π)−J(0)]=−2Dexp(−Dt).La pérdida coincide con el flujo exterior, sin ninguna reacción interna.
Un valor de borde cero no equivale a un flujo cero.
Con Neumann homogéneo compatible el balance total sería distinto.
6. Una onda necesita desplazamiento y velocidad iniciales
En la recta, con datos f(x)=u(x,0) y g(x)=uₜ(x,0), d’Alembert da u=[f(x−ct)+f(x+ct)]/2+(1/(2c))∫ desde x−ct hasta x+ct de g(s)ds, bajo su regularidad o marco débil adecuado.
Si g=0, el desplazamiento inicial se reparte en dos copias que viajan en sentidos opuestos. Usar solo f(x−ct) seleccionaría velocidad inicial −cf′, que normalmente no es cero. La ecuación interior admite muchas ondas; los dos datos eligen la combinación.
Velocidad inicial cero reparte un pulso en dos
c=1, desplazamiento triangular f(x)=max(1−|x|,0) y g=0.
Fórmula
u=[f(x−t)+f(x+t)]/2.Para el pulso con esquinas se usa la solución de energía o débil, clásica donde sea suave.
Tiempo dos
Las copias tienen centros en dos y menos dos y altura 1/2 cada una.
Comparar transporte
Una sola copia f(x−t) tendría altura uno y velocidad inicial −f′. Resolvería otra elección de datos para la ecuación de ondas.
Dos perfiles pueden aparecer a partir de una sola deformación inicial.
En t=0 las medias copias se superponen y recuperan exactamente f.
La velocidad inicial puede generar movimiento con desplazamiento inicial cero
c=2, f=0 y g(x)=cosx.
Integral
u=(1/4)∫ desde x−2t hasta x+2t de cos s ds.Evaluar
La diferencia de senos es 2cosx sin2t, así u=(1/2)cosx sin2t.
Comprobar
u(x,0)=0 y uₜ(x,0)=cosx.Además uₜₜ=−2cosx sin2t y 4uₓₓ da lo mismo.
El segundo dato no se omite porque el primero sea cero.
La integral lleva el factor 1/(2c), aquí un cuarto.
7. La propagación y los balances distinguen difusión de ondas
Las ondas clásicas dependen de datos dentro de un intervalo de alcance finito [x−ct, x+ct]. La difusión ideal en toda la recta tiene un núcleo gaussiano positivo para cualquier distancia cuando t>0. Son propiedades de esos modelos; no una afirmación de que un fenómeno real transporte información física ilimitadamente rápido.
La energía de onda sin pérdidas es (1/2)∫[uₜ²+c²uₓ²]dx, conservada con fronteras sin intercambio energético.
La integral de u y la de u² no son la misma cantidad.
Un dato localizado se extiende de maneras diferentes
Dato inicial f=1 en [−1,1] y cero fuera; para ondas, velocidad inicial cero.
Difusión
Para t>0, u(x, t)=∫₋₁¹exp[−(x−s)²/(4Dt)]/√(4πDt) ds.El integrando es positivo y u>0 en cada x finito.Ondas
La expresión [f(x−ct)+f(x+ct)]/2 solo es no nula en las dos franjas trasladadas. Fuera del alcance correspondiente queda cero.
Marco
El dato tiene saltos. La difusión es suave a tiempo positivo y la onda se interpreta débilmente; no se exigen derivadas clásicas en todos los saltos.
Difusión y propagación finita no se representan con la misma traslación.
La cola difusiva puede ser muy pequeña sin ser matemáticamente cero.
Una onda periódica intercambia dos partes de energía
c=2 y u(x, t)=cosx cos2t, en un periodo espacial 2π.
Cinética
uₜ=−2cosx sin2t.La mitad de su cuadrado integrado es 2πsin²2t.
Parte espacial
uₓ=−sinx cos2t.La mitad de c²uₓ² integrada es 2πcos²2t.
Total
La suma vale 2π para cualquier t. Las partes cambian, pero el total se conserva con la frontera periódica.
La conservación energética no exige que cada parte sea constante.
La velocidad inicial de esta solución es cero, coherente con la combinación de ondas opuestas.
8. Verificamos la función completa y podemos combinar transporte con difusión
Para una propuesta se comprueban derivadas, ecuación, dominio y datos antes de evaluar un punto. Que el residual se anule en una posición especial no demuestra una identidad en todo el espacio y tiempo.
También existen modelos que combinan mecanismos. Para coeficientes constantes en la recta, uₜ+c uₓ=D uₓₓ se reduce a difusión usando z=x−ct. La traslación mueve el centro mientras D cambia la forma. El cambio de variable se comprueba con la regla de la cadena, no sumando dos soluciones sin justificación.
Una comprobación en un cero del coseno puede esconder una tasa incorrecta
Propuesta u=exp(−t)cos2x para difusión D=1.
Residual
uₜ−uₓₓ=−u+4u=3exp(−t)cos2x.Un punto
En x=π/4, cos2x=0 y el residual se anula para todo t.Identidad
En x=0 no se anula.La propuesta no resuelve la ecuación; la tasa correcta del modo es cuatro y no uno.
Un punto afortunado no valida toda la función.
La tasa se deduce de k² y se confirma con derivadas, además del dato inicial.
Un perfil puede viajar y ensancharse a la vez
uₜ+2uₓ=(1/2)uₓₓ en la recta, dato exp(−x²).
Coordenada viajera
Tomar z=x−2t y u(x, t)=v(z, t).Entonces uₜ=vₜ−2v_z y uₓ=v_z.Reducir
La suma uₜ+2uₓ queda vₜ.
Basta usar la solución de difusión v=exp[−z²/(1+2t)]/√(1+2t).Interpretar
En t=1 el centro está en x=2 y la altura es 1/√3.La integral sigue siendo √π; la posición y la anchura cambian por mecanismos distintos.
La fórmula combina ambos efectos mediante un cambio probado.
La recuperación usa x−2t completo dentro del cuadrado, con paréntesis.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Transportar un perfil
uₜ+2uₓ=0 y u(x,0)=x² en la recta. Halla u(3,1).
Datos
Transporte uₜ+2uₓ=0 en la recta, con f(x)=x².Origen
La característica que llega a (x, t) salió de x₀=x−2t.Función
u(x, t)=f(x−2t)=(x−2t)².Comprobar
uₜ=−4(x−2t) y uₓ=2(x−2t), por lo que uₜ+2uₓ=0; en t=0 se recupera x².Punto pedido
En x=3, t=1, el origen es uno y u(3,1)=1²=1.Alcance
La fórmula usa dominio toda la recta y velocidad constante. En un intervalo habría que revisar si la característica llega a un dato de frontera.
u(3,1)=1.
uₜ=−4(x−2t), uₓ=2(x−2t); la ecuación se anula.
EJEMPLO RESUELTO 2
Difusión de un modo
D=1 y u(x,0)=cos(2x). Halla el factor de amplitud en t.
Dato
D=1 y perfil inicial cos2x.Se trabaja en la recta o con fronteras compatibles con ese modo.
Separar amplitud
Probar u=a(t)cos2x, con a(0)=1.Derivar espacio
uₓₓ=−4a(t)cos2x.Ecuación de amplitud
uₜ=uₓₓ exige a′=−4a.Resolver
a=exp(−4t), así u=exp(−4t)cos2x.Control
En t=0 se recupera el perfil y las dos derivadas coinciden. El factor k² explica la tasa cuatro; D no se interpreta como una velocidad.
u=e^(−4t)cos(2x).
Las frecuencias espaciales altas decaen más deprisa por el factor k².
Los símbolos que hemos usado
- u(x,t)
- Perfil de una magnitud espacial dependiente del tiempo.
- uₜ, uₓ, uₓₓ
- Derivadas parciales temporal, espacial y segunda espacial.
- c
- Velocidad constante de transporte o de propagación de ondas, según la ecuación.
- D>0
- Coeficiente de difusión, de dimensión longitud²/tiempo.
- Característica
- Trayectoria espacio-temporal usada para seguir información en transporte.
- Modo espacial
- Perfil de forma sencilla que evoluciona mediante una amplitud temporal.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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