Un modelo propone una regla; calibrarlo significa elegir sus parámetros usando datos. Antes de ajustar veremos qué cambia al mover cada parámetro y si los datos pueden distinguirlos. Después separaremos un buen ajuste de una predicción comprobada en condiciones nuevas. Un número devuelto por un optimizador todavía necesita interpretación, unidades y controles.
Si necesitas repasar:
1. La entrada, el parámetro y el dato observado cumplen papeles distintos
Escribimos una predicción f(t; θ). t puede ser tiempo o una condición elegida, θ contiene parámetros desconocidos y y es una observación. Declaramos qué se mantiene fijo y qué se estima. Una diferencia puede venir de ruido, entradas inciertas o una familia de modelos inadecuada.
Cambiar θ conserva la familia propuesta. Cambiar la ley, por ejemplo pasar de una recta a una curva, modifica la estructura. Ninguno de esos cambios demuestra por sí solo que se haya encontrado la ley verdadera del fenómeno.
Poner nombre a los elementos de una predicción lineal
f(t; a, b)=at+b; t se mide en segundos y f en metros.
Parámetros
a tiene unidades m/s y b metros. t es la entrada, no otro parámetro de esta calibración.
Evaluar
Con a=2 m/s y b=1 m, en t=3 s la predicción es siete metros.Observar
Si se midieron 7,2 m, existe una discrepancia de 0,2 m. No decide por sí sola si a está mal, b está mal o hubo ruido.
Predicción y observación se conservan como cantidades distintas.
No se cambian simultáneamente todos los elementos sin registrar qué pregunta se está haciendo.
Ajustar otra recta no equivale a cambiar a un modelo acelerado
Se empieza con f(t)=at+b.
Misma familia
Pasar de a=2, b=1 a a=2,1, b=0,9 sigue describiendo rectas.Otra estructura
Añadir un término ct² permite curvatura y añade un parámetro con otras unidades.
Decisión
Más flexibilidad puede mejorar el ajuste disponible y también ajustar ruido. Se decide con información y evaluación adecuadas al uso previsto.
Complejidad del modelo y valor de sus parámetros son decisiones diferentes.
Un ajuste mejor en los datos usados no garantiza una predicción mejor fuera de ellos.
2. La sensibilidad deriva respecto del parámetro que estamos cambiando
En un modelo lineal en parámetros esa relación puede ser exacta; en uno no lineal es una aproximación local.
No se deriva respecto del tiempo si la pregunta es cambiar un coeficiente. La sensibilidad depende de la entrada en que se observa. Sus unidades son unidades de salida divididas por unidades del parámetro.
La pendiente importa más a tiempos más alejados del origen
f=at+b, con a de dos a 2,5 y b fijo en uno.
Derivar
Sₐ=t y Sᵦ=1.Cambiar
δa=0,5 da δf=t·0,5 exactamente: cero en t=0 y uno en t=2.Distinguir
La derivada temporal sería a, otro número y otra pregunta.
En t=2 la sensibilidad a b sigue siendo uno.
Una misma perturbación de a produce distinto efecto según dónde se mire.
La exactitud de δf=Sδθ aquí procede de que f es lineal en a y b.
Una exponencial distingue tres derivadas diferentes
f(t; A, k)=Aexp(−kt).
Parámetros
∂f/∂A=exp(−kt) y ∂f/∂k=−At exp(−kt).Tiempo
∂f/∂t=−Ak exp(−kt), que no es la sensibilidad respecto de k.Valores
Con A=10, k=1/2, t=2, f=10/e, Sₖ=−20/e y derivada temporal −5/e.Para δk=0,01, el cambio local es aproximadamente −0,2/e; el exacto es (10/e)[exp(−0,02)−1].
El factor t aparece al cambiar k y el factor k al cambiar t.
La aproximación de primer orden mejora al reducir la perturbación, bajo la suavidad del modelo.
3. Comparar sensibilidades exige escalas y variaciones plausibles
Una sensibilidad relativa habitual es (θⱼ/f)(∂f/∂θⱼ) donde esa normalización sea significativa. Si f=0 puede no estar definida, y si θⱼ=0 no existe una variación relativa δθⱼ/θⱼ que se interprete de la misma manera. Se pueden usar escalas características no nulas declaradas.
La incertidumbre de una predicción depende de sensibilidad y de cuánto puede variar realmente cada parámetro. Además un cambio de unidad cambia el valor numérico de una derivada. No se ordena importancia comparando directamente números que llevan unidades diferentes.
Un parámetro mejor conocido puede aportar menos incertidumbre
f=a/b, con a=100 m y b=2 s; escalas de incertidumbre 0,1 m y 0,2 s.
Derivadas
f=50 m/s, Sₐ=1/b=0,5 s⁻¹ y Sᵦ=−a/b²=−25 m/s².Impactos locales
Las magnitudes Sₐ·0,1 y |Sᵦ|·0,2 son 0,05 y 5 m/s, respectivamente.
Normalizar
Las sensibilidades relativas son +1 y −1 para estos valores no nulos, pero las incertidumbres relativas de a y b son muy diferentes. La propagación usada aquí es local.
Importancia para incertidumbre no es solo tamaño de la derivada.
No se presentan cinco metros por segundo como una cota exacta para cualquier cambio no lineal del denominador.
Las unidades pueden cambiar una sensibilidad por un factor sesenta
En la exponencial, A=10, k=0,5 s⁻¹ y t=2 s.
Segundos
Sₖ=−20/e respecto del número de k expresado por segundo.
Minutos
La misma tasa es 30 min⁻¹ y el mismo tiempo 1/30 min. La derivada respecto del nuevo número k es −1/(3e).
Comparar
La cifra es sesenta veces menor, pero una misma perturbación física de k también cambia de representación. El efecto de salida es el mismo al convertir ambos.
Una diferencia numérica de sensibilidad puede proceder solo de la unidad.
Para f(θ)=θ en θ=0, la razón θ/f sería 0/0: se informa sensibilidad absoluta uno o una escala externa justificada.
4. Mínimos cuadrados transforma residuos en un criterio declarado
Mínimos cuadrados minimiza la suma de rᵢ². Los residuos conservan unidades de salida; si se dividen por desviaciones típicas de medición, el criterio estandarizado puede ser adimensional.
Los pesos se justifican con el modelo de error o el objetivo, no se escogen para forzar un parámetro deseado. Los cuadrados penalizan discrepancias grandes y pueden ser sensibles a atípicos. Una familia no lineal puede tener varios mínimos o depender del punto inicial del algoritmo.
Una constante ajustada por cuadrados es la media de los datos
Modelo f=θ y observaciones [1;3;5].
Criterio
J=(1−θ)²+(3−θ)²+(5−θ)².Derivar
J′=6θ−18 y J″=6>0.El mínimo único está en θ=3.Residuos
Son −2,0,2 y la suma de cuadrados ocho. Su media cero se deduce del ajuste de un intercepto; no valida todas las hipótesis del error.
La media aparece como solución de un problema concreto de optimización.
Cambiar el criterio, el dominio o los pesos puede cambiar la solución.
Mediciones de distinta precisión no pesan igual en el modelo ponderado
Datos dos y ocho con desviaciones típicas conocidas uno y dos, respectivamente.
Criterio
Minimizar (2−θ)²+(8−θ)²/4: los pesos son uno y un cuarto.
Resolver
La media ponderada es [2+(1/4)·8]/[1+1/4]=16/5=3,2.Control
El residual ponderado total es (2−3,2)+(1/4)(8−3,2)=0.La media sin ponderar sería cinco; responde a otra elección de precisión.
La medición con menor desviación recibe más peso bajo estas hipótesis.
Si las mediciones estuvieran correlacionadas se necesitaría revisar también la estructura de covarianza.
5. Identificar parámetros exige que los datos puedan distinguirlos
Si dos vectores de parámetros generan las mismas observaciones posibles en las condiciones usadas, no se distinguen con esos datos. Repetir esas condiciones puede reducir ruido sin resolver la ambigüedad estructural.
La identificabilidad global pregunta por toda la familia admitida; la local, por un entorno. Una restricción física conocida puede descartar soluciones, pero se declara como información adicional. Un optimizador que devuelve un solo punto no demuestra unicidad.
Un producto observado no separa sus dos factores
El modelo predice y=ab y se conoce y=6.
Pares
(1,6),(2,3),(3,2) y (6,1) producen el mismo dato.
Familia
Para cualquier a no nulo puede elegirse b=6/a.Incluso restringir a, b>0 deja infinitos pares.Más réplicas
Observar muchas veces ese mismo producto puede precisar su valor sin separar los factores. Hace falta otra relación o información de alguno.
Los parámetros no son identificables por separado mediante este diseño.
La curva de pares compatibles no representa variación de una trayectoria temporal.
Una sensibilidad local no nula no garantiza unicidad global
Modelo f(θ)=θ² y observación cuatro.
Soluciones
θ=2 y θ=−2 dan la misma salida.Local
La derivada 2θ es no nula en ambos puntos; localmente el signo puede mantenerse y la función distinguir valores cercanos.
Dominio
Si el modelo físico sabe que θ>0, queda dos. Esa restricción procede del dominio, no de que la observación cuatro distinguiera por sí sola ambos signos.
Un diagnóstico local y uno global responden preguntas diferentes.
No se impone un signo después del ajuste sin justificar de dónde viene.
6. La matriz de sensibilidades muestra combinaciones poco observables en primer orden
Las filas de S corresponden a observaciones y las columnas a parámetros: Sᵢⱼ=∂f(tᵢ; θ)/∂θⱼ. Si una combinación de columnas se anula, ese cambio conjunto no altera salidas en primer orden. En el modelo lineal, rango completo de columnas permite mínimos cuadrados únicos.
En modelos no lineales, el rango aporta información local bajo regularidad y no asegura unicidad global. Una derivada cero aislada tampoco prueba no identificabilidad exacta. Además columnas casi dependientes pueden hacer una estimación muy sensible al ruido aunque el rango sea completo.
Los tiempos repetidos pueden observar solo una combinación
Modelo at+b; dos observaciones ambas en t=1.
Matriz
S tiene dos filas (1,1), así su rango es uno.
Dirección invisible
Aumentar a en δ y reducir b en δ no cambia a+b. Los datos repiten la misma combinación.
Otro diseño
Observar en t=0 y t=2 da filas (0,1) y (2,1), determinante −2 y rango dos.Pendiente e intercepto quedan separados en el modelo ideal.
Más observaciones no equivale siempre a más direcciones de información.
La conclusión de rango se refiere a este modelo lineal.
Derivada cero y falta de unicidad no son equivalentes
f(θ)=θ³, cerca de θ=0.
Linealización
f′(0)=0, de modo que el término lineal no detecta un pequeño cambio de θ.
Exacto
La función cúbica es estrictamente creciente: θ³=0 tiene única solución cero.
Interpretar
El cambio real es (δθ)³, de orden mayor. El diagnóstico lineal es degenerado y la inversión puede ser sensible, pero no existen por ello múltiples parámetros exactos.
Una prueba basada en derivadas tiene un alcance que no se extiende sin más.
Para una recta con tiempos separados solo por ε, la pendiente usa diferencia de datos dividida por ε y puede amplificar ruido aunque el rango sea dos.
7. Diseñar observaciones añade información; regularizar añade una preferencia
El diseño busca condiciones que separen efectos de parámetros. Por ejemplo, observar una recta en tiempos distintos informa más direcciones que repetir siempre el mismo. Además se evita hacer tan pequeña la separación que el ruido domine las diferencias.
Regularizar introduce una penalización, restricción o información previa. Puede estabilizar una estimación, pero no transforma esa preferencia en datos recién observados. Se conserva qué decisión vino de mediciones y cuál del criterio añadido.
Un dato inicial y otro posterior separan amplitud y tasa de decaimiento
f=Aexp(−kt), A>0; se observan f(0)=10 y f(2)=10/e.
Amplitud
En t=0 se obtiene A=10 sin dependencia de k.Tasa
10exp(−2k)=10/e da k=1/2, en unidades coherentes.Diseño
Repetir solo t=0 nunca habría identificado k.Con dos tiempos casi iguales, una pequeña diferencia de datos puede ser muy sensible al ruido.
Las condiciones elegidas determinan qué combinaciones se pueden aprender.
En una recta, separar tiempos por 0,001 amplifica un cambio de dato 0,001 en un cambio de pendiente uno; separarlos por uno daría cambio 0,001.
Una norma mínima puede escoger un punto de una familia de ajustes exactos
Los datos solo fijan a+b=6; se añade la preferencia de minimizar a²+b² entre esos ajustes.
Ambigüedad
(1,5),(2,4),(3,3) y muchos otros satisfacen el mismo dato.
Preferencia
a²+b²=(a+b)²/2+(a−b)²/2=18+(a−b)²/2.Elegir
El mínimo añadido selecciona a=b=3.No demuestra que los datos originales observaran por separado ambos tres. Una penalización suave que permita perder ajuste sería otro problema que debe declararse.
La regularización puede seleccionar una solución sin resolver la falta original de información.
Se comprueba cómo cambia la conclusión al cambiar esa preferencia cuando el uso lo requiera.
8. La validación contrasta predicciones sin volver a elegir parámetros con esos datos
Los parámetros se eligieron para ajustar ciertas observaciones. Su error en ellas no es una evaluación independiente del rendimiento fuera de ese ajuste. Se reserva evidencia adecuada a la predicción prevista y no se la reutiliza para modificar el modelo y seguir llamándola independiente.
Para predecir el futuro, una separación cronológica suele reflejar mejor la disponibilidad de información que mezclar tiempos indiscriminadamente. También las transformaciones aprendidas, como una normalización, se ajustan usando la información permitida en esa fase.
Dos puntos bien ajustados pueden predecir mal un tercero
Datos de ajuste (t, y)=(0,1) y (1,3); se ajusta una recta.
Ajustar
La recta es f=2t+1 y reproduce exactamente los dos datos.
Evaluar
En una observación reservada t=2 se midió diez.La predicción es cinco y el residual observado menos predicho es cinco.
Conclusión
Error de ajuste cero no garantizó la nueva predicción. La discrepancia invita a revisar modelo, datos y uso previsto; no se oculta reajustando sobre ese dato y contando la misma prueba como nueva.
La evidencia reservada contesta otra pregunta que la optimización original.
Si se usa para escoger otro modelo, se necesita reconocer ese uso y preservar otra evaluación final adecuada.
Un dato futuro puede colarse mediante una transformación previa
Para una tarea de predicción futura, el entrenamiento conoce entradas uno y tres; después aparecerá una entrada diez.
Solo entrenamiento
La media aprendida para centrar esas dos entradas es dos.
Mezclar futuro
Si se calcula con las tres, la media pasa a 14/3 y la transformación del entrenamiento ya depende del conjunto futuro.
Procedimiento
Se guarda la transformación obtenida con información de entrenamiento y se aplica después a nuevas entradas. La comparación se diseña según lo que realmente estará disponible al predecir.
La separación de evidencia incluye las decisiones de preparación de datos.
El ejemplo muestra disponibilidad de información; no afirma que centrar de otra forma mejore siempre una cifra de error.
9. Los residuos y la incertidumbre revelan más que una media de error
Se miran residuos frente a tiempo, entrada y predicción: tendencias, dispersión cambiante o dependencia pueden señalar supuestos que revisar. Una media cero no descarta esas estructuras, especialmente si el ajuste de intercepto ya fuerza esa propiedad.
Para perturbaciones de parámetros con covarianza Σ, una propagación lineal usa SΣSᵀ. Es exacta para una salida lineal de esos parámetros; en modelos no lineales es una aproximación local. La incertidumbre de una media predicha y la de una nueva medición también se distinguen.
Media cero puede coexistir con un patrón curvo
En tiempos −1,0,1, los residuos son 1,−2,1.
Centro
Su suma es cero.
Ajuste lineal
También Σtᵢrᵢ=−1+1=0.Para esos datos, la mejor recta es cero y la suma de cuadrados seis.
Patrón
Los puntos sugieren revisar una curvatura no representada. Una parábola podría pasar por ellos, pero tres puntos no demuestran que esa sea la ley verdadera; se necesita más evidencia y validación.
El gráfico conserva los datos disponibles y evita fabricar puntos intermedios.
Una media residual nula puede ser consecuencia algebraica del ajuste, no una prueba de que el modelo esté completo.
Una covarianza entre parámetros cambia la incertidumbre de predicción
Modelo adimensional f=at+b; covarianza de parámetros con filas (0,04;−0,01) y (−0,01;0,09). Evaluar en t=2.
Sensibilidad
S=(2,1).La varianza propagada es 2²·0,04+0,09+2·2·(−0,01)=0,21.Correlación
Omitir el término cruzado daría 0,25. La covarianza negativa reduce aquí el tamaño del cambio conjunto.
Nueva observación
Si además una nueva medición añade ruido independiente de varianza 0,16, la varianza predictiva total es 0,37. No se presenta la incertidumbre de la media como si ya incluyera ese ruido.
La fórmula especifica qué incertidumbres se propagan y cómo dependen.
En una salida no lineal esta cuenta necesitaría controlar la aproximación local o usar otro método adecuado.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Sensibilidad de una recta
f(t;a,b)=at+b. Calcula sensibilidades en t=3.
Modelo
f(t; a, b)=at+b.Se pide variar a o b manteniendo t y el otro parámetro fijos.
Respecto de a
∂f/∂a=t.Respecto de b
∂f/∂b=1.Instante
En t=3, Sₐ=3 y Sᵦ=1.Perturbación
Aumentar a en 0,1 cambia f exactamente en 3·0,1=0,3 a ese instante, si b se mantiene.
Control
La derivada temporal sería a, otra operación. Las sensibilidades llevan unidades de salida divididas por las del parámetro correspondiente.
Sₐ=3 y Sᵦ=1.
Aumentar a en 0,1 cambia f en 0,3 a ese instante, manteniendo b.
EJEMPLO RESUELTO 2
Parámetros que no se distinguen
y=ab para todas las observaciones. Se mide y=6. ¿Son únicos a y b?
Observación
El modelo solo produce y=ab y todas las observaciones disponibles miden ese producto seis.
Dos ajustes
a=1, b=6 y a=2, b=3 ya dan la misma salida.Familia
Para todo a no nulo, elegir b=6/a conserva y=6.Conclusión
No se identifican por separado a y b mediante esos datos.
Repetir
Más mediciones de ese mismo producto pueden reducir su ruido, pero no distinguen todos esos pares exactos.
Qué falta
Una relación adicional, otro tipo de observación o información externa declarada puede separar parámetros. Seleccionar un par con un optimizador o una preferencia no equivale a haberlo observado.
No son identificables por separado con estos datos.
Para cualquier a≠0 puede elegirse b=6/a.
Los símbolos que hemos usado
- θ
- Vector de parámetros del modelo.
- Sᵢⱼ
- Sensibilidad de la salida i respecto del parámetro j.
- rᵢ=yᵢ−fᵢ(θ)
- Residual observado menos predicho, convención usada aquí.
- Calibración
- Elección de parámetros a partir de datos y un criterio de ajuste.
- Identificabilidad
- Posibilidad de distinguir valores de parámetros mediante las observaciones disponibles.
- Validación
- Contraste de predicciones y supuestos con evidencia adecuada al uso del modelo.
- Regularización
- Información o penalización adicional que estabiliza o restringe el ajuste.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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