Modelización de objetivos, variables y restricciones

Damos a cada variable un nombre, una interpretación y una unidad. Si x son litros comprados, x puede cambiar con nuestra decisión. El precio por litro, cuando está fijado, es un parámetro. No lo tratamos como otra decisión libre solo porque también se escriba con una letra.

Las unidades ayudan a detectar errores: precio por litro multiplicado por litros da dinero. Un balance de volumen suma volúmenes, no precios. Un mismo símbolo no debe cambiar de significado a mitad del modelo. Si quisiéramos decidir también el precio, estaríamos formulando otro problema con supuestos adicionales.

No negatividad excluye cantidades negativas cuando carecen de sentido físico. Una variable continua puede representar una cantidad divisible; una entera cuenta unidades indivisibles. Las binarias valen cero o uno y necesitan una interpretación para cada estado. Escribimos ese dominio antes de resolver.

Quitar integridad produce una relajación continua, útil como comparación o cota, pero no la misma tarea. Redondear una solución puede violar límites superiores o inferiores. No elegimos el dominio después de ver si el resultado parece cómodo.

Maximizar beneficio y minimizar coste indican direcciones distintas de comparación. Podemos escribir max B como min(−B), conservando el signo al informar. Un término fijo común a todas las decisiones cambia el valor del objetivo, pero no cuál es mejor. La forma general es minimizar f(x) con x en un dominio y varias restricciones simultáneas.

Con varios criterios, sumarlos requiere escalas o prioridades: dinero más horas no es una magnitud definida sin una conversión. Los pesos expresan una preferencia de compromiso; no prueban que haya una elección universalmente mejor para cualquier persona o aplicación.

Como máximo da una cota superior; al menos da una inferior. Un total exacto produce igualdad. Una capacidad puede dejarse sin usar y no se fuerza a igualdad sin motivo. Probamos decisiones sencillas para comprobar el sentido del signo y conservamos las unidades de cada condición.

En un problema geométrico dibujamos primero qué medidas se deciden. Una relación de área no es una relación de perímetro: pueden aparecer ambas y desempeñar papeles distintos. En mezclas, volumen total y contenido de un componente son balances diferentes; si suponemos que los volúmenes se suman, lo declaramos.

El conjunto factible es la intersección del dominio y de todas las restricciones. Para comprobar una decisión, la sustituimos en cada condición. Un beneficio alto no compensa violar una capacidad. Una restricción activa se cumple con igualdad; una con holgura deja margen.

Tener una restricción activa no demuestra optimalidad, ni todas tienen que estar activas en un óptimo. Una condición redundante ya se deduce de otras; quitarla exige justificar esa implicación. Dibujar ayuda a entender la intersección, pero la comprobación algebraica conserva los límites exactos.

Infactible significa que ningún punto cumple todas las condiciones. No acotado en la dirección buscada significa que hay decisiones factibles con objetivos cada vez mejores sin límite finito. Esas situaciones no se deben confundir con que un algoritmo tarde o falle.

También puede haber un ínfimo finito que no se alcanza. Por otro lado, si el conjunto factible es no vacío y compacto y el objetivo continuo, el teorema de Weierstrass garantiza mínimo y máximo alcanzados. Compacidad y continuidad dan existencia; no dicen por sí solas qué punto es el óptimo ni que sea único.

Local significa que ninguna decisión factible suficientemente cercana mejora el objetivo. Global compara con todos los puntos factibles. La derivada nula es una condición necesaria para un extremo interior diferenciable sin restricciones, pero no suficiente; en una frontera puede haber óptimo con derivada no nula.

Si el conjunto es convexo y minimizamos una función convexa, cualquier mínimo local es global: si existiera un punto mejor, los puntos del segmento hacia él estarían tan cerca como quisiéramos y la convexidad daría valores menores. Estricta convexidad asegura como máximo un mínimo si existe, porque el punto medio de dos mínimos distintos sería mejor.

Esa propiedad no asegura existencia por sí sola.

Volvemos al enunciado y comprobamos unidades, dominio, todas las condiciones y el objetivo con la decisión hallada. Si omitimos una obligación o suponemos una proporcionalidad falsa, una solución óptima de ese modelo puede ser una mala respuesta a la situación original.

También revisamos qué datos son inciertos. Pedir que un plan funcione en todos los escenarios es distinto de optimizar el escenario medio; necesita un modelo de incertidumbre y un criterio explícito. El informe debe distinguir decisión, valor del objetivo, garantía matemática y supuestos que podrían cambiar la respuesta.