Una restricción puede impedir movernos hacia el mínimo que tendría una función libre. En ese caso no pedimos que el objetivo deje de cambiar en cualquier dirección: solo importan los movimientos permitidos. Los multiplicadores expresarán ese equilibrio, y las condiciones KKT reunirán las comprobaciones que necesita un candidato con desigualdades.
Si necesitas repasar:
1. En la frontera importan las direcciones factibles, no todos los movimientos
Sin restricciones, un mínimo interior diferenciable tiene gradiente cero. Sobre una igualdad h=0, los movimientos siguen su superficie. Si los gradientes de las igualdades son independientes, describen las normales de una superficie regular local; los movimientos tangentes son perpendiculares a esas normales.
En un mínimo regular con igualdades, la derivada del objetivo se anula en las direcciones tangentes. Por ello su gradiente pertenece al espacio generado por las normales. Puede ser distinto de cero. Las desigualdades añaden direcciones permitidas solo hacia uno de los lados y exigirán signos adecuados en sus multiplicadores.
Una frontera detiene la mejora antes de la tangente horizontal
Minimizar f(x)=(x−1)² sujeto a x≥2.
Sin restricción
La función se minimiza en uno, pero no es factible.
Región permitida
Para x≥2, x−1≥1 y f(x)≥1.El punto dos alcanza uno.
Derivada
f′(2)=2≠0.Desde dos, ir a la izquierda mejoraría el objetivo, pero viola la restricción.
El mínimo factible está en dos con derivada no nula.
El gradiente cero era una condición para un mínimo interior sin restricciones.
Una igualdad exige cambiar dos coordenadas juntas
Minimizar u²+v² con u+2v=5.
Movimiento tangente
Si variamos en dirección d, debe cumplir d₁+2d₂=0; la normal es (1;2).Cota global
Cauchy–Schwarz da (u+2v)²≤5(u²+v²), así el objetivo factible es al menos cinco.
Alcanzar
(1;2) cumple la igualdad y da cinco.
Allí ∇f=(2;4), paralelo a la normal.
El gradiente no desaparece: equilibra la normal de la restricción.
La cota directa ya comprueba el mínimo sin depender de una receta de multiplicadores.
2. La lagrangiana expresa el equilibrio con una convención de signos fija
Para minimizar f con igualdades hⱼ=0 y desigualdades gᵢ≤0, fijamos L=f+Σλⱼhⱼ+Σμᵢgᵢ. Los λ son libres de signo y los μ no negativos. La estacionariedad es ∇ₓL=0: se deriva respecto de las decisiones, manteniendo los multiplicadores como coeficientes.
Las restricciones originales no desaparecen. Los multiplicadores son incógnitas adicionales y las ecuaciones del problema siguen formando parte del sistema. Si cambiamos x≥a a la forma g=a−x≤0, su derivada lleva signo menos; escribir g=x−a describiría otro lado de la frontera.
Resolver el equilibrio de una recta normal
Mismo problema: min u²+v² con h=u+2v−5=0.
Lagrangiana
L=u²+v²+λ(u+2v−5).Estacionariedad
2u+λ=0 y 2v+2λ=0, así u=−λ/2 y v=−λ.Conservar igualdad
u+2v=5 da −5λ/2=5, de donde λ=−2, u=1, v=2.
El multiplicador de igualdad es −2, permitido por ser libre.
El dibujo muestra ∇f=−λ∇h; no se exige que ambos gradientes se anulen.
El signo de una desigualdad determina el equilibrio
Min f(x)=(x−1)² con x≥2.
Forma elegida
g(x)=2−x≤0; L=(x−1)²+μ(2−x), μ≥0.Gradiente
∂L/∂x=2(x−1)−μ.En la frontera
x=2 exige μ=2, no −2.Es compatible con el signo dual y g=0.
El signo menos procede de derivar 2−x.
Resolver solo esta ecuación aún exige revisar factibilidad y complementariedad.
3. Las cuatro partes de KKT se revisan por separado
Todas deben cumplirse en el mismo punto y con los mismos multiplicadores; ninguna sustituye a las otras.
Actividad no equivale a positividad estricta; esa condición adicional se llama complementariedad estricta y no se presupone.
Una restricción inactiva deja multiplicador cero
Minimizar (x−3)² sujeto a x≥1; g=1−x.
Punto
x*=3 es factible y g(3)=−2<0.Complementariedad y signo
μ·(−2)=0 obliga μ=0, que es no negativo.Estacionariedad y valor
2(3−3)−0=0; el objetivo es cero.Se han revisado las cuatro condiciones.
La restricción no está frenando la solución libre.
No forzamos g=0 en todas las desigualdades: aquí daría un candidato incorrecto.
Una restricción activa también puede tener multiplicador cero
Minimizar (x−2)² sujeto a x≥2; g=2−x.
Punto
x*=2 cumple g=0 y da objetivo cero.Estacionariedad
2(x−2)−μ=0 obliga μ=0 en ese punto.Restantes condiciones
μ≥0 y μg=0 se cumplen; la restricción está activa aunque su multiplicador no sea positivo.
KKT permite actividad con multiplicador cero.
No se rechaza el punto por faltar complementariedad estricta, que no se había exigido.
4. Para exigir multiplicadores a un óptimo necesitamos una cualificación
Con funciones C¹, una condición suficiente de regularidad es que los gradientes de las igualdades y las desigualdades activas sean linealmente independientes en el mínimo local. Se llama LICQ. Bajo ella existen multiplicadores KKT. Hay otras cualificaciones más débiles; LICQ no es una condición necesaria para que un punto particular tenga multiplicadores.
Sin una cualificación puede haber un mínimo sin ningún par KKT. Es una limitación de la representación diferencial de la frontera, no una prueba de que no exista mínimo. Se distingue garantizar multiplicadores desde un óptimo de comprobar suficiencia de un par KKT que ya hemos encontrado.
Una frontera degenerada puede ocultar un mínimo a la ecuación de gradientes
Min f(x)=2x con g(x)=x²≤0.
Factibilidad
Un cuadrado solo puede ser ≤0 en x=0; es el único punto y por tanto minimizador.
Gradientes
f′(0)=2 y g′(0)=0.Imposibilidad KKT
Estacionariedad pediría 2+μ·0=0, imposible para cualquier μ.LICQ falla porque el gradiente activo es cero.
Existe mínimo, pero no existen multiplicadores KKT con esta representación.
No se concluye que las condiciones necesarias de un teorema se contradigan: sus hipótesis de regularidad no se cumplían.
El fallo de LICQ no impide siempre que KKT funcione
Min x² con x≥0 y 2x≥0.
En el mínimo
x*=0; ambas restricciones están activas.Dependencia
En forma g₁=−x, g₂=−2x, los gradientes −1 y −2 son dependientes; LICQ falla.
Multiplicadores válidos
μ₁=μ₂=0 dan estacionariedad 0−0−0=0, signos correctos y complementariedad.La no negatividad del objetivo prueba el mínimo.
LICQ era suficiente para garantizar necesidad, no una equivalencia.
No se confunde redundancia de restricciones con inexistencia de un certificado.
5. En un problema convexo, un par KKT factible certifica un mínimo global
Supongamos f y cada gᵢ convexas diferenciables e igualdades afines.
Por factibilidad y complementariedad, L(x*)=f(x*); para todo z factible, L(z)≤f(z).
Esta prueba de suficiencia parte de un par KKT ya dado y no añade una cualificación para hacerlo suficiente. La regularidad se usa en la otra dirección: garantizar que un óptimo tenga esos multiplicadores. Sin convexidad, un punto KKT puede ser máximo o silla.
Completar cuadrados en la lagrangiana da un certificado explícito
Min (u−2)²+(v−1)² con u+v≤2 y u, v≥0.
Candidato
(u*; v*)=(3/2;1/2), multiplicador uno para u+v−2 y cero para −u,−v.KKT
El gradiente objetivo es (−1;−1), que se cancela con (1;1). El punto es factible y los productos complementarios son cero.
Cota
L=(u−3/2)²+(v−1/2)²+1/2.En todo factible, f≥L≥1/2.Alcanzar
En el candidato, f=1/2.Queda demostrado el mínimo global.
Las cuatro condiciones producen una cota verificable.
Las desigualdades de no negatividad están incluidas; sus multiplicadores son cero porque el punto tiene coordenadas positivas.
KKT sin convexidad puede describir un máximo
Minimizar −x² con x²−1≤0.
Punto candidato
x=0, μ=0 cumple factibilidad, signo dual, estacionariedad y complementariedad.
Comparar
El objetivo vale cero en ese punto y −1 en x=1 o x=−1.Diagnóstico
Cero es un máximo sobre el intervalo factible. El objetivo es cóncavo, así no se cumplían las hipótesis de suficiencia convexa.
Cumplir KKT no es un certificado universal de mínimo en problemas no convexos.
Para |x|≤1, la cota −x²≥−1 confirma los mínimos globales en ambos extremos.
6. Slater garantiza una forma útil de regularidad en el marco convexo
En el caso de funciones convexas diferenciables en Rⁿ e igualdades afines, Slater pide un punto que satisfaga las igualdades y todas las desigualdades estrictamente. Con valor óptimo finito y las condiciones pertinentes de existencia, permite dualidad fuerte y multiplicadores. El punto estricto no tiene que ser óptimo.
Si hay dominios adicionales se necesitan versiones relativas y condiciones precisas. Slater no valida por sí solo un problema no convexo. Tampoco es una condición necesaria para que exista un certificado en cada caso: su fallo significa que no podemos usar esa garantía suficiente, no que todo certificado sea imposible.
Un punto interior puede justificar el uso del teorema sin ser la respuesta
Problema convexo anterior con u+v≤2, u, v≥0.
Punto estricto
(1/2;1/2) da u+v−2=−1, −u=−1/2 y −v=−1/2.Slater
Las tres desigualdades son estrictas y no hay igualdades adicionales.
No confundir con óptimo
Su objetivo es 5/2, frente al mínimo 1/2 en (3/2;1/2). El papel del punto es demostrar regularidad.
Regularidad y optimización son comprobaciones distintas.
La existencia del mínimo en este ejemplo también puede demostrarse por continuidad en su región compacta.
Puede haber multiplicadores aunque no exista punto estrictamente factible
Minimizar x con x≤0 y −x≤0.
Región
Solo x=0 es factible; no se pueden cumplir simultáneamente x<0 y −x<0.KKT
Con μ₁=0, μ₂=1, la estacionariedad es 1+μ₁−μ₂=0.Certificado
Los signos son no negativos, ambos productos complementarios valen cero y el único valor factible es cero.
Slater falla, pero existe un par KKT óptimo.
No se transforma una hipótesis suficiente en una condición necesaria para todos los modelos.
7. Elegir casos activos genera candidatos que después debemos clasificar
En un problema pequeño podemos suponer qué desigualdades están activas. Para ellas imponemos g=0; para las restantes, μ=0. Resolvemos estacionariedad y las igualdades y después verificamos todos los signos, dominios y restricciones. Si algo falla, descartamos ese caso.
En problemas no convexos, los candidatos requieren clasificación adicional. El segundo orden restringido usa la Hessiana de L sobre las direcciones tangentes o el cono crítico apropiado. La Hessiana del objetivo por sí sola puede omitir precisamente la curvatura de la restricción.
Resolver los dos regímenes de una cota superior
Minimizar (x−a)² sujeto a x≤1; a es un parámetro fijo.
Caso inactivo
μ=0 da x=a, permitido con holgura si a<1.Caso activo
x=1 da 2(1−a)+μ=0, así μ=2(a−1), válido si a≥1.Dos datos
Con a=0, x*=0, μ=0.Con a=3, x*=1, μ=4 y objetivo cuatro.En a=1 la frontera lleva multiplicador cero.
La fórmula conjunta es x*=min(a;1), μ=2max(a−1;0).
La convexidad convierte los candidatos que pasan las comprobaciones en mínimos globales.
La curvatura de la restricción distingue mínimo y máximo
Minimizar x sobre la circunferencia h=x²+y²−1=0.
Candidatos
L=x+λh.Las ecuaciones 1+2λx=0 y 2λy=0 dan (−1;0), λ=1/2 y (1;0), λ=−1/2.Direcciones tangentes
En ambos puntos son d=(0; t).La Hessiana de L es 2λI.
Clasificar
En (−1;0), dᵀH_Ld=t²>0 para t≠0: mínimo restringido.En (1;0) es −t²: máximo.
Control global
En la circunferencia −1≤x≤1, así los valores mínimo −1 y máximo uno quedan confirmados.
El objetivo lineal tiene Hessiana cero, pero la lagrangiana sí refleja la curvatura relevante.
La igualdad es regular en la circunferencia; no se aplicó un criterio de segundo orden en una frontera degenerada.
8. El informe final incluye punto, multiplicadores, valor y alcance de la interpretación
Una respuesta completa conserva el convenio de signos, comprueba cada condición y comunica el objetivo. Una desigualdad directa puede confirmar el mínimo de manera independiente. Si solo hay una aproximación, se informan residuos de factibilidad y estacionariedad con tolerancias adecuadas, sin presentarlos como exactitudes.
Interpretar un multiplicador como sensibilidad necesita condiciones de regularidad y estabilidad de la solución. Con g(x, b)=a(x)−b≤0 en minimización, la derivada del valor respecto de la cota suele ser −μ bajo esas condiciones. Es una afirmación local de primer orden; cambiar de régimen activo puede cambiar la fórmula.
Comprobar un certificado de principio a fin
Minimizar (x+1)² sujeto a x≥0.
Convenio y punto
g=−x≤0; elegimos x*=0 y μ=2.Cuatro condiciones
g=0, μ≥0, 2(x+1)−μ=0 y μg=0 se cumplen en ese par.Valor y garantía
f(0)=1.Para todo x≥0, (x+1)²=1+2x+x²≥1, lo que confirma el mínimo global.
El punto es cero, el multiplicador dos y el valor mínimo uno.
Los números del multiplicador dependen de cómo se haya escalado la restricción; la convención se conserva al interpretarlo.
Una sensibilidad local no es una igualdad para todo cambio de capacidad
En el problema de dos variables anterior, cambiamos u+v≤2 por u+v≤b, cerca de b=2.
Régimen 1<b<3
La solución es u=(b+1)/2, v=(b−1)/2 y μ=3−b; ambas coordenadas siguen positivas.Valor
V(b)=(3−b)²/2, así V′(2)=−1=−μ(2).Cambio finito
b=2,1 da V=0,405 frente a 0,5.El cambio exacto es −0,095; la predicción lineal es −0,1 y falta el término 0,1²/2=0,005.
Otro régimen
Para b≥3, (2;1) ya es factible, V=0 y el multiplicador puede ser cero. No extendemos la fórmula cuadrática anterior sin revisar actividad.
Relajar la capacidad reduce el coste a una tasa local ligada al multiplicador.
Se han declarado el intervalo de validez y el término que distingue aproximación lineal de cambio exacto.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una igualdad
Minimiza x²+y² sujeto a x+y=2.
Problema y convenio
Min f=x²+y² con h=x+y−2=0; L=f+λh.Estacionariedad
2x+λ=0 y 2y+λ=0, por lo que x=y.Factibilidad
x+y=2 da x=y=1.Multiplicador y valor
λ=−2 y f(1,1)=2.Garantía convexa
La suma de cuadrados es convexa y la igualdad afín; el par estacionario factible certifica mínimo global.
Control independiente
x²+y²=((x+y)²+(x−y)²)/2=2+(x−y)²/2≥2 en la recta.Solo se alcanza con x=y=1.
Mínimo 2 en (1,1).
x²+y²=((x+y)²+(x−y)²)/2≥2 cuando x+y=2.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una desigualdad activa
Minimiza x² con x≥1.
Problema
Min x² con x≥1; escribimos g=1−x≤0.Lagrangiana
L=x²+μ(1−x), μ≥0.Candidato activo
x*=1 da g=0.La estacionariedad 2x−μ=0 exige μ=2.Comprobar KKT
x es factible, μ no negativo y μg=0; también se anula el gradiente de L.Valor
El objetivo es uno.
Certificar
Para todo factible x≥1, x²≥1.La convexidad y el control directo confirman el mínimo global en uno.
Mínimo 1 en x=1.
Todo factible x≥1 satisface x²≥1.
Los símbolos que hemos usado
- hⱼ(x)=0
- Restricción de igualdad.
- gᵢ(x)≤0
- Convención de desigualdad usada para minimizar.
- λⱼ
- Multiplicador de igualdad, libre de signo.
- μᵢ≥0
- Multiplicador de desigualdad bajo la convención L=f+μᵀg+λᵀh.
- Activa
- Restricción de desigualdad que cumple gᵢ(x)=0.
- Complementariedad
- Producto μᵢgᵢ(x)=0 para cada desigualdad.
- Cualificación
- Hipótesis de regularidad que permite concluir necesidad de multiplicadores.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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