Energía, potencia y espectros de señales

Para una amplitud real x usamos x²: dos y menos dos aportan ambos cuatro. Para un complejo z=a+ib usamos |z|²=z·conjugado(z)=a²+b², un real no negativo. El cuadrado z² puede ser complejo y no sirve como esa medida de tamaño.

Por ahora energía y potencia son medidas matemáticas de señal. Si x representa voltaje, |x|² tiene unidades de voltios al cuadrado; convertirlo en vatios o julios requiere un modelo físico, por ejemplo una resistencia conocida. No añadimos unidades que los datos no proporcionan.

En una secuencia E=Σ sobre todos los índices de |x[n]|². Si se declara cero fuera de un intervalo o de una lista, esas zonas no aportan. La energía puede ser finita, cero o infinita.

No se equipara automáticamente la suma discreta con la integral continua. Para aproximar la integral mediante muestras se introduce el ancho T de cada panel y se comprueba la regla de cuadratura. Además, cambiar la amplitud por un factor a multiplica energía por |a|².

La potencia bilateral continua es el límite, si existe, de (1/(2T))∫₋ᵀᵀ|x(t)|²dt. La discreta usa (1/(2N+1))Σₙ₌₋ᴺᴺ|x[n]|². El denominador es la duración o el número de muestras realmente observadas.

Si la energía total es finita, la energía de cualquier ventana queda acotada por ella. Al dividir por una longitud que crece, la potencia tiende a cero. La convención bilateral importa: promediar solo hacia el futuro puede dar otro número para una señal que empieza en cero.

Se suele llamar señal de energía a la que cumple 0<E<∞, y señal de potencia a la que cumple 0<P<∞ con energía infinita. La señal cero es un caso especial. Existen señales con energía y potencia infinitas y otras cuyo límite de potencia no existe.

Duración finita tampoco garantiza energía finita si el cuadrado tiene una singularidad no integrable. Las condiciones de integrabilidad y existencia del límite se revisan antes de aplicar una etiqueta.

Si una señal periódica tiene energía finita por periodo, la potencia es esa energía dividida entre la duración del periodo. Para una secuencia de periodo M, P=(1/M)Σ de sus M módulos cuadrados. RMS es √P, siempre no negativo.

La identidad cos²v=(1+cos2v)/2 da A²/2 para un coseno continuo no constante de amplitud A. En una secuencia se comprueba su periodo: frecuencias cero y π pueden tener comportamientos especiales y no admiten importar esa regla sin revisar.

El espectro de energía describe la misma cantidad distribuida por frecuencia; no añade ni elimina energía.

Si se usa f en Hz con exp(−i2πft), el factor de Parseval cambia porque dω=2πdf. Antes de integrar hay que saber qué transformada se definió. Para señales sin energía finita no se eleva al cuadrado una transformada con deltas como si fuera una función ordinaria.

Para una secuencia, X(exp(iΩ))=Σx[n]exp(−iΩn) se repite cada 2π. Su energía es (1/(2π))∫₋ππ|X|²dΩ. Se integra un periodo frecuencial, no toda la recta repitiendo la misma energía infinitas veces.

Para un bloque de N datos, con DFT directa sin factor e inversa 1/N, Parseval es Σ|x[n]|²=(1/N)Σ|X[k]|². Esa es energía del bloque. Repetirlo periódicamente o declararlo cero fuera produce señales infinitas diferentes y otras potencias a largo plazo.

Si x(t)=Σcₖexp(ikω₀t) es una serie de Fourier periódica en su marco L² por periodo, P=Σ|cₖ|².

Integrar Sₓ y dividir entre 2π devuelve P.

Cada delta codifica un área concentrada en una frecuencia. No se toma la transformada de una periódica y se escribe δ²: ese producto no está definido como una función ordinaria. La fórmula de líneas se obtiene mediante la potencia y la correlación apropiadas.

Para un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio, con segundo momento finito, la autocorrelación R(τ)=E[x(t+τ)conjugado(x(t))] depende del retraso. Su transformada es el espectro de potencia cuando existe como función, o más generalmente como medida. Su integral normalizada da E[|x(t)|²].

Esta esperanza de conjunto no coincide necesariamente con la potencia temporal de cada realización. Se necesitan hipótesis de ergodicidad apropiadas para hacer esa identificación. Un periodograma de un registro finito es una estimación con ventana y escala declaradas, no una densidad exacta de una señal infinita.