Filtros digitales y ecuaciones en diferencias

Una ecuación en diferencias relaciona valores en índices enteros. No tiene que proceder de aproximar una derivada. Para calcular hacia adelante despejamos y[n] en función de datos de entrada y salidas anteriores. Si su coeficiente no es uno, dividimos toda la ecuación por él, siempre que no sea cero.

También hacen falta entradas previas y memoria inicial que la regla consulte. La misma entrada con otra memoria puede dar otra trayectoria. La transferencia de estado cero describe el efecto de la entrada cuando esa memoria está en reposo; no sustituye las condiciones iniciales de una ejecución distinta.

En una actualización recursiva, y[0] se calcula una vez y pasa a ser dato de y[1]. Después se conserva y[1] para y[2]. Poner otra vez cero en la memoria de cada fila cambia el sistema que estamos ejecutando.

Con más de un retraso guardamos más de una salida, respetando sus posiciones. Una tabla separa índice, entrada, memoria y resultado. Es útil antes de programar y también para detectar un signo erróneo en una transferencia.

Un FIR tiene h con un número finito de posiciones no nulas. Un IIR tiene una cola que no termina exactamente. Un programa recursivo puede representar un FIR si hay cancelaciones y la memoria es compatible; por eso se revisa la respuesta efectiva y no solo la presencia de una y anterior.

Duración infinita no significa inestabilidad. Para un filtro de convolución, la suma absoluta Σ|h[n]| debe ser finita para tener estabilidad BIBO. Los pesos pueden alternar y seguir siendo absolutamente sumables.

Para estado cero, un retraso de k muestras introduce z⁻ᵏ.

Primero se normaliza el coeficiente de y[n].

Una transformada unilateral con memoria inicial no nula contiene términos adicionales. H por sí sola no describe la respuesta libre. Una comprobación práctica es expandir H en potencias de z⁻¹ y compararlas con las primeras muestras del impulso.

Los polos efectivos son singularidades después de reducir cancelaciones. Para una respuesta racional causal, la ROC está fuera del polo de mayor módulo; BIBO exige que todos esos polos estén estrictamente dentro del círculo unidad. Sin causalidad, la misma fracción puede describir otra secuencia.

Un a negativo alterna. Polos repetidos pueden introducir factores polinómicos en n; dentro del círculo, ese crecimiento polinómico no vence al decaimiento geométrico.

Un polo efectivo sobre el círculo unidad no supera el criterio BIBO causal. Que su impulso sea acotado no basta: alguna entrada acotada puede acumular aportaciones y generar salida sin cota. Estabilidad exige la propiedad para todas las entradas acotadas.

Además, cancelar un factor en H puede ocultar un modo de la implementación. La transferencia reducida describe la relación de estado cero; un estado inicial o error interno puede excitar un modo que esa relación no muestra. Se revisa también la realización cuando importa estabilidad interna.

Si h es absolutamente sumable, sustituimos z=exp(iΩ) en H y obtenemos la respuesta a una oscilación compleja bilateral. Ω se mide en radianes por muestra y se relaciona con una frecuencia física mediante Ω=2πf/fₛ. Módulo y fase tienen funciones distintas.

Para una constante bilateral, H(1)=Σh[n] es la ganancia de continua. Un escalón que empieza desde reposo puede acercarse a ese resultado tras un transitorio estable. No se confunden la salida permanente a una señal que existía siempre y el arranque de un registro.

En el modelo exacto, cada coeficiente y estado conserva todos sus decimales. En un dispositivo o programa con formato limitado se redondean valores, se acota el rango o se satura. Estas operaciones deben especificarse: no son automáticamente una pequeña perturbación LTI.

Redondear coeficientes puede mover polos. Redondear estados puede generar ciclos límite con entrada cero. Saturar impide la superposición. Para evaluar una implementación se usan sus reglas concretas de cálculo, no solo una transferencia ideal anterior a ellas.

Una prueba útil compara la recurrencia con h, con la transferencia y con una entrada fácil. Un error de signo suele cambiar varias de esas comprobaciones. Además se prueba que procesar un registro en dos bloques conserva la misma salida si se transmite correctamente la memoria.

Ninguna tabla finita demuestra por sí sola una propiedad universal, pero sí detecta errores de implementación. La demostración se hace con la ecuación general y sus hipótesis; los datos numéricos comprueban que el cálculo concreto respeta esa ecuación.