Una cámara no guarda cada instante de un movimiento: toma imágenes separadas. Con una señal pasa algo parecido. Veremos cuándo una lista de muestras permite recuperar la curva y cuándo dos curvas diferentes dejan la misma lista. Empezaremos calculando puntos; después pondremos nombre al límite de información que encontramos.
Si necesitas repasar:
1. Guardar puntos exige decir qué sabemos de la curva entre ellos
El índice n cuenta datos; nT es el instante. Si conocemos una fórmula, calcular muestras es sustituir. Si solo conocemos las muestras, recuperar una fórmula requiere hipótesis adicionales.
Aunque hubiera infinitas muestras uniformes, una función cualquiera no queda determinada: se le puede añadir una oscilación que se anule justo en la rejilla. No basta con unir puntos y llamar original al resultado.
Convertir el contador en un instante antes de evaluar
x(t)=cos(4πt), con fₛ=12 Hz.
Intervalo
T=1/12 s.La muestra n está en t=n/12.Sustituir
x[n]=cos(4πn/12)=cos(πn/3).Las muestras n=0,1,2,3 son 1, 1/2, −1/2 y −1.Interpretar
Se guardan seis muestras por vuelta de una oscilación de dos hercios. La unidad Hz significa vueltas por segundo, no altura de la gráfica.
La regla discreta es cos(πn/3).
En n=6 se ha avanzado medio segundo: vuelve a uno tras una vuelta completa.
Añadir una curva invisible para esa rejilla
T=1/4 s; comparar f(t) y g(t)=f(t)+sin(8πt).
En la rejilla
Para t=n/4, el término añadido es sin(2πn)=0.Fuera de ella
En t=1/16, vale sin(π/2)=1, así g y f difieren en uno.Conclusión
Sus listas completas de muestras coinciden, pero sus curvas no. Una hipótesis sobre las frecuencias admitidas puede excluir una de las dos.
Los datos solos no seleccionan cualquier función continua.
El ejemplo no afirma que ambas pertenezcan a una misma banda suficientemente pequeña.
2. La banda y la frecuencia de muestreo son dos datos distintos
Una señal limitada en banda a B Hz no contiene frecuencias de módulo mayor que B.
Para la reconstrucción ideal básica usaremos fₛ>2B, con rejilla uniforme infinita, datos exactos y las hipótesis del teorema. Para señales de energía, las igualdades se interpretan en el marco L² y con el representante correspondiente.
2B es la tasa de Nyquist de esa banda; fₛ/2 es la frecuencia de Nyquist de esa adquisición. No son dos nombres para cualquier número que aparezca. La condición estricta es una garantía suficiente que evita problemas de tonos en el borde; existen formulaciones críticas L² con condiciones más precisas.
Comprobar la banda antes de decidir que una toma sirve
B=150 Hz y fₛ=400 Hz.
Doble de banda
2B=300 muestras por segundo.Comparar
400>300.Equivale a 150<400/2=200 Hz.Alcance
En el modelo ideal se cumple la condición. No se ha afirmado que un registro corto o un filtro real reconstruyan exactamente cualquier medición.
La banda queda por debajo de la frecuencia de Nyquist.
Cambiar amplitudes no cambia esta desigualdad de frecuencias.
Un número de muestras no es una banda
Se guardan 400 muestras durante un segundo, con separación uniforme de 1/400 s.
Muestreo
El dato relevante de separación es fₛ=400 Hz; un bloque de 400 instantes termina en 399/400 s si empieza en cero.
Dato que falta
La cantidad guardada no dice si la señal contiene 50 Hz, 150 Hz o 900 Hz.
Decisión
Si B=150 se cumple 400>300; si B=250 no se cumple 400>500.La misma adquisición recibe dos diagnósticos según la señal admitida.
Frecuencia máxima y tamaño del registro cumplen papeles distintos.
No se deduce fₛ solo de decir cuatrocientas muestras si no se conoce su separación.
3. El criterio del doble evita que se solapen copias del espectro
En el modelo ideal, multiplicar por un tren de impulsos de separación T crea copias del espectro cada fₛ hercios: Xₛ(f)=fₛΣₘX(f−mfₛ), usando Fourier en Hz. El factor fₛ cambia escala; el desplazamiento mfₛ cambia ubicación. Esta fórmula se entiende bajo las hipótesis adecuadas o en distribuciones.
Si la copia central termina en B, la siguiente empieza en fₛ−B.
En ese caso un filtro ideal selecciona el centro y usa ganancia T para deshacer el factor fₛ. La transición perfectamente abrupta es ideal, no un filtro causal finito realizable.
Leer los extremos de dos soportes vecinos
B=3 Hz y fₛ=10 Hz.
Centro
La copia central ocupa [−3,3].
Siguiente
La centrada en diez ocupa [7,13], porque 10−3=7 y 10+3=13.Separación
Entre tres y siete queda un hueco de cuatro hercios.
El factor de escala es diez y se corrige con T=1/10.
Las copias no se mezclan.
La separación sale también de fₛ−2B=10−6=4.
Ver dónde empieza la mezcla al reducir la frecuencia
La misma banda B=3, pero ahora fₛ=5 Hz.
Centro
Sigue ocupando [−3,3].
Vecina
La copia positiva ocupa [2,8].
Solapamiento
Entre dos y tres, el espectro muestreado puede sumar aportaciones de dos copias. Seleccionar solo una franja después no separa esas contribuciones desconocidas.
5<6 no garantiza reconstrucción de toda esa familia.
Una señal particular podría recuperarse con información extra; el fallo es de la garantía general.
4. La sinc conserva cada muestra y aporta una curva entre ellas
La sinc normalizada es sinc(u)=sin(πu)/(πu) para u≠0 y sinc(0)=1 por límite. En cada entero no nulo vale cero. Por eso sinc(t/T−n) deja pasar la muestra de índice n y se anula en los demás instantes de la rejilla.
La reconstrucción cardinal suma x[n]sinc(t/T−n) sobre todos los enteros. En los instantes medidos solo sobrevive un sumando; entre ellos intervienen muchos. La identidad en los nodos es algebraica. Recuperar también la señal original entre nodos exige el teorema y sus hipótesis; truncar la suma añade un problema de aproximación y de bordes.
Comprobar una base cardinal sin dividir por cero
T=1 y φₙ(t)=sinc(t−n).
Su propio nodo
En t=n, el argumento es cero y el valor definido por límite es uno.
Otro nodo
En t=m con m entero distinto de n, sin(π(m−n))=0 y el denominador no es cero: φₙ(m)=0.
Dato conservado
En Σx[n]φₙ(m), queda x[m]. Esta propiedad no autoriza a sustituir la familia de señales admisibles por cualquier función.
La sinc tiene una función concreta en cada muestra.
No se calcula sinc(0) como cero dividido entre cero.
Sumar dos aportaciones entre dos nodos
Construimos r(t)=2sinc(t)+sinc(t−1), con T=1.
Nodos
r(0)=2 y r(1)=1; en los demás enteros vale cero.Punto medio
sinc(1/2)=sinc(−1/2)=2/π.Así r(1/2)=4/π+2/π=6/π.Marco
Esta construcción cardinal es una señal L² de banda hasta 1/2 Hz. Es un caso crítico válido; no prueba recuperación universal de tonos de fase arbitraria exactamente en Nyquist.
El valor medio es aproximadamente 1,910, no el promedio lineal 1,5.
El ejemplo separa conservar nodos de elegir una regla entre ellos.
5. El alias se obtiene con múltiplos de fₛ y cuidando la fase
En las muestras, exp(i2π(f+mfₛ)n/fₛ)=exp(i2πfn/fₛ), pues el factor añadido exp(i2πmn) vale uno. Para representar una frecuencia restamos múltiplos de fₛ hasta llevarla a [−fₛ/2, fₛ/2). Esto da una frecuencia con signo.
Convertir una frecuencia negativa en positiva cambia también el signo de la fase. En un seno la simetría es distinta; no se toma un valor absoluto y se conserva todo lo demás sin comprobar.
Una vuelta adicional entre muestras puede ser invisible
fₛ=4 Hz; comparar cos(2πt) y cos(10πt).
Frecuencias
Son uno y cinco hercios; se diferencian exactamente en fₛ.
Muestras
Las fases son πn/2 y 5πn/2, separadas por 2πn.
En n=0,…,4 ambas dan [1;0;−1;0;1].Entre puntos
En t=1/8 la primera vale √2/2 y la segunda −√2/2: no son la misma señal continua.
La frecuencia cinco tiene representante uno para esta adquisición.
Más puntos dibujados por interpolación no revelarían cuál curva se midió.
La fase cambia al escribir un alias con frecuencia positiva
x(t)=cos(2π·440t+π/6), muestreada a 600 Hz.
Representante con signo
440−600=−160 Hz, que está entre −300 y 300.Conservar fase
Las muestras son cos(2π(−160)n/600+π/6).
Frecuencia positiva
Usando la paridad, equivalen a cos(2π·160n/600−π/6). El signo de la fase pasa a menos.
Un alias positivo es 160 Hz con fase −π/6.
En n=0 ambos dan √3/2; otro índice permite detectar que conservar +π/6 sería incorrecto.
6. En el borde de Nyquist una fase puede volverse invisible
El seno da cero en todos los enteros aunque no sea cero entre ellos. El coseno da (−1)ⁿ. La fase decide qué parte de esa oscilación consigue aparecer en los datos.
Por eso aquí usamos una desigualdad estricta como regla suficiente para una señal de banda conocida. Que exista un coseno concreto visible en el borde no demuestra que todas sus fases sean recuperables. Tampoco contradice los teoremas L² críticos: los tonos infinitos no son señales de energía finita.
Una oscilación no nula que deja una lista de ceros
fₛ=400 Hz y x(t)=sin(2π·200t).
Sustituir
En t=n/400, x[n]=sin(πn)=0.Mirar entre nodos
En t=1/800 vale sin(π/2)=1.Comparar
La señal cero y esta oscilación tienen las mismas muestras. No hay una regla basada solo en esa lista que distinga ambas sin restricciones extra.
En la frontera falla una promesa universal para tonos de cualquier fase.
El periodo del seno es 1/200 s; la adquisición solo guarda sus cruces por cero.
Amplitud y fase pueden quedar mezcladas
En el mismo borde, A cos(πn+φ)=A cosφ·(−1)ⁿ.
Expandir
cos(πn+φ)=cosπn cosφ−sinπn sinφ; el segundo término desaparece.
Dos señales
A=2 y φ=π/3 producen (−1)ⁿ.A=1 y φ=0 también producen (−1)ⁿ.Pérdida
Los datos fijan A cosφ, pero no separan A y φ por sí solos.
Ver alternancia no significa conocer toda la oscilación original.
Las dos curvas tienen la misma frecuencia, pero amplitud y fase continuas diferentes.
7. El antialias debe actuar antes del paso que mezcla frecuencias
Un filtro analógico antialias atenúa frecuencias que podrían plegarse sobre la banda útil antes del muestreo. Un filtro real necesita transición y una atenuación especificada: no basta pedir un corte ideal justo en fₛ/2 sin margen.
También al reducir una secuencia guardando una de cada M muestras puede aparecer aliasing. Entonces el filtrado previo puede ser digital, porque todavía se conserva la rejilla más rápida. La ubicación antes o después de la pérdida importa más que el nombre del dispositivo.
Después del pliegue, un filtro ve dos señales iguales
Se muestrean cosenos de 100 y de 900 Hz a 1000 Hz.
Fase
900=1000−100; en la rejilla, cos(1,8πn)=cos(0,2πn).Después
Ambas entradas generan exactamente la misma secuencia. Un mismo procesamiento digital recibe el mismo dato en los dos casos.
Antes
Un filtro previo que conserve 100 Hz y atenúe 900 Hz cambia la adquisición antes de que se confundan. Su rechazo real determina cuánto alias residual queda.
No se elimina una componente de 900 plegada conservando una de 100 indistinguible.
Se necesita información adicional o prevenir la mezcla antes de adquirir.
Bajar la tasa también cambia el límite permitido
Una secuencia adquirida a 1000 Hz se reduce tomando una de cada cuatro muestras.
Nueva tasa
El intervalo se multiplica por cuatro: fₛ nuevo=250 Hz y su Nyquist es 125 Hz.
Filtrar antes
Una componente de 200 Hz cabe en la adquisición original, pero no en la nueva banda base. Hay que atenuarla antes de descartar muestras.
Alias sin filtro
200−250=−50; para un coseno de fase cero aparece como 50 Hz. Interpolar la secuencia reducida no recupera la distinción perdida.
El antialias se coloca antes de la reducción.
La banda útil se elige por debajo de 125 Hz, dejando transición para un filtro realizable.
8. Un registro finito y una interpolación aproximada requieren sus propios límites
La fórmula sinc ideal no usa solo las muestras visibles en una pantalla: necesita toda la rejilla. Un registro finito obliga a elegir qué hacer fuera y a truncar o aproximar el núcleo. Con ruido, error de reloj y amplitudes redondeadas tampoco se tienen las muestras exactas del modelo ideal.
La interpolación lineal puede ser útil y sencilla, pero impone segmentos. Aumentar el número de valores calculados no aumenta las observaciones originales. El sobremuestreo real sí adquiere nuevos instantes y facilita filtros; no corrige por sí solo saturación ni cualquier otro error de medida.
Un segmento conserva extremos, pero puede fallar en medio
x(t)=cos(2πt), T=1/8; interpolar entre t=0 y t=1/8.
Extremos
Son uno y √2/2.
Segmento en el medio
En t=1/16, la interpolación lineal vale (1+√2/2)/2≈0,853553.Curva conocida
La fórmula original da cos(π/8)≈0,923880.El error es aproximadamente −0,070326, aunque los extremos coincidan.
Pasar por los datos no garantiza recuperar cada punto intermedio.
La diferencia se calcula contra una curva original conocida, no contra una imagen dibujada.
Una lista finita permite muchas extensiones si no se restringe la familia
Solo se conocen valores en t=0, T,…,7T.
Construcción
A cualquier curva compatible podemos añadir a·exp(−t²)·∏ⱼ₌₀⁷(t−jT), con a real.
Nodos
En cada uno de los ocho instantes, algún factor del producto es cero; los datos permanecen iguales.
Alcance
Fuera de ellos cambian valores si a≠0.Este ejemplo usa funciones generales, no afirma que todas tengan una misma banda limitada.
Un registro requiere un modelo y una estimación, además de puntos.
Ni ocho ni ocho mil datos determinan una función arbitraria sin hipótesis adicionales.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una frecuencia que se disfraza
Muestrea cos(2π·900t) a fₛ=1000 Hz. ¿Qué coseno de baja frecuencia coincide en sus muestras?
Datos
La señal es cos(2π·900t) y fₛ=1000 Hz, luego T=1/1000 s.Tomar muestras
x[n]=cos(2π·900n/1000)=cos(1,8πn).Restar la tasa
900−1000=−100 Hz.En fase, 1,8πn=2πn−0,2πn.Usar índice entero
El término 2πn es un número entero de vueltas y no cambia el coseno.
Paridad
cos(−0,2πn)=cos(0,2πn): el representante positivo es 100 Hz, con fase cero.
Comprobar y limitar
La igualdad vale para todo entero n. Se comparan muestras, no curvas continuas: fuera de la rejilla las señales de 900 y de 100 Hz pueden diferir.
Alias de 100 Hz.
cos(1,8πn)=cos(2πn−0,2πn)=cos(0,2πn) para todo entero n.
EJEMPLO RESUELTO 2
Elegir frecuencia de muestreo
Una señal está limitada a 200 Hz. ¿Sirve fₛ=500 Hz en el modelo ideal?
Banda
B=200 Hz describe la frecuencia absoluta máxima admitida.Tasa requerida
La condición suficiente estricta es fₛ>2B=400 Hz.Comparar
500>400: sí se cumple.Misma comprobación
La frecuencia de Nyquist de la adquisición es 500/2=250 Hz; la banda 200 queda por debajo.
Separación espectral
La copia central termina en 200; la siguiente empieza en 500−200=300.Queda margen de 100 Hz entre soportes.
Modelo
Esto confirma la condición del modelo ideal. Un registro finito, ruido o un filtro real necesitan un análisis adicional de aproximación.
Sí, satisface la condición ideal.
Las comprobaciones 500>400 y 200<250 son equivalentes y sostienen la misma conclusión.
Los símbolos que hemos usado
- x(t), x[n]
- Señal continua y sus muestras de índice entero.
- T, fₛ
- Intervalo positivo de muestreo y frecuencia de muestreo fₛ=1/T.
- B
- Mayor frecuencia absoluta permitida por la hipótesis de banda limitada, en Hz.
- f, Ω
- Frecuencia continua en Hz y frecuencia angular discreta Ω=2πf/fₛ.
- X(f)
- Transformada de Fourier continua con exponente −2πift.
- sinc(v)
- Sinc normalizada: sin(πv)/(πv) para v distinto de cero y valor uno en cero.
- fₛ/2
- Frecuencia de Nyquist del muestreo; es el borde del intervalo principal de frecuencias reales positivas.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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