Introducción al control óptimo y robusto

Un problema de control incluye dinámica, dato inicial, horizonte, coste y restricciones. Minimizar tiempo, esfuerzo o error puede producir decisiones diferentes. Un horizonte finito termina en T y puede penalizar o fijar el estado terminal. En horizonte infinito hay que revisar convergencia del coste y la clase de políticas admisibles.

Esta introducción deducirá LQR de regulación al origen con modelo lineal conocido, estado disponible y sin saturación explícita. Los primeros ejemplos finitos muestran por qué cambiar un dato del problema cambia el significado de óptimo. No se comparan números de costes diferentes como si midieran lo mismo.

Q es simétrica semidefinida positiva y R simétrica definida positiva. El primer término puede dejar direcciones sin penalizar; el segundo hace costosa cualquier entrada no nula y permite invertir R. Las variables y pesos deben conservar unidades o una normalización indicada.

Cambiar pesos cambia el problema. Multiplicar Q y R por la misma constante positiva multiplica todo J y no cambia su minimizador. Penalizar más el control puede favorecer otra política; el efecto concreto se comprueba en el modelo, no se interpreta el peso como un límite duro de fuerza.

Las hipótesis estándar son estabilizabilidad de (A, B) y detectabilidad de (Q¹ᐟ², A), con Q=(Q¹ᐟ²)ᵀQ¹ᐟ². La primera exige que los modos incontrolables ya sean estables. La segunda exige que los modos no penalizados por el coste de estado sean estables. R sigue siendo definida positiva.

Bajo esas condiciones existe una solución simétrica semidefinida positiva estabilizante de Riccati. No se afirma que P sea siempre definida positiva: una dirección estable sin penalización puede tener valor óptimo cero. Resolver una ecuación sin revisar estos modos podría confundir coste bajo con regulación al origen.

Su derivada es xᵀ(AᵀP+PA)x+2xᵀPBu. Minimizar coste instantáneo más esa derivada respecto a u da 2Ru+2BᵀPx=0, por tanto u=−Kx con K=R⁻¹BᵀP. R positiva hace único ese mínimo en u.

Se llama ecuación algebraica de Riccati. Entre posibles raíces se escoge la que hace A−BK Hurwitz y satisface la estructura de valor. Una raíz algebraica no estabilizante no se entrega como control óptimo de regulación.

Es una identidad finita y exacta; el término final no se borra antes de revisar la trayectoria.

Para la política estabilizante, x(T)→0 y el cuadrado añadido es cero, así J=V(x₀). Para comparar con otras políticas admisibles se justifica también su condición terminal, por ejemplo en la clase de trayectorias estabilizantes con coste finito. Bajo las hipótesis estándar de LQR, los argumentos de detectabilidad permiten extender la caracterización a la clase de coste finito pertinente.

No se usa una trayectoria divergente para descartar sin explicación V final.

Después de resolver P se forma K, se verifican polos, trayectorias y esfuerzo. Los pesos no imponen por sí solos un máximo de fuerza, corriente o desplazamiento. Si se satura la orden, la ley aplicada cambia y se analiza esa ejecución. Cambiar los pesos crea un nuevo problema óptimo, aunque pueda ayudar a conseguir controles más suaves.

LQR de estado completo supone conocer x. Sustituirlo por x̂ requiere un observador y analizar error, ruido y coste de la combinación. La separación puede garantizar estabilidad ideal bajo condiciones, pero no convierte automáticamente esa combinación en el mismo óptimo de información completa. Diseños estadísticos necesitan un modelo de ruido adicional.

Un nominal es un modelo de referencia. Podemos permitir un parámetro en un intervalo, un error aditivo o un error multiplicativo con forma y tamaño definidos. Estabilidad robusta pide estabilidad para todos los miembros; prestaciones robustas añaden una cota de error, esfuerzo u otra salida. Una familia de ganancias no incluye automáticamente retardos o dinámicas que no declaramos.

La garantía puede ser uniforme: las mismas constantes sirven para toda la familia. Eso es más informativo que simular unos pocos valores. Para familias matriciales generales, comprobar solo extremos no basta sin una propiedad que lo justifique; los próximos ejemplos escalares sí permiten una desigualdad para todos sus parámetros.

Una cota inducida ||salida||≤γ||entrada|| necesita una norma declarada y estado inicial cero. Podemos medir picos o energía; no son intercambiables en general. Para un LTI estable, la norma H infinito es su ganancia inducida L²: en escalar, sup_ω|H(iω)|. Para varias señales se usa la mayor singular de la matriz frecuencial.

Plancherel explica la cota energética: multiplicar cada frecuencia por una matriz de norma como máximo γ limita la energía total por γ². El supremo no se demuestra mirando una sola frecuencia arbitraria. Una senoidal permanente o una constante no tiene energía L² finita en toda la recta; pueden usarse señales largas de energía finita para aproximar algunas cotas, distinguiendo límite de máximo alcanzado.

Consideramos z=M(w+Δz), con bloques causales estables, interconexión bien definida y ganancias inducidas compatibles γ₁ y γ₂.

En horizontes truncados y con causalidad se formula la garantía sin presuponer ya acotada la solución global.

Cada vuelta produce una cota geométrica de razón γ₁γ₂. La condición es estricta y suficiente; no confía en cancelaciones favorables de fase. Deben cumplirse estabilidad de los bloques y buena definición del lazo: una manipulación de normas aislada no construye por sí sola una interconexión válida.

Si el producto vale uno o más, pequeña ganancia no certifica con esa cota. Una interconexión concreta puede seguir siendo estable por fase o estructura. A la vez, no se declara robusta una familia grande solo porque uno de sus miembros pase una comprobación favorable.

Diseñar para reducir ||M||∞ permite obtener garantías frente a perturbaciones Δ incluidas en la familia. Estabilidad y prestaciones son niveles distintos: todos los modelos pueden ser estables y alguno incumplir una cota de error. Esta introducción no sustituye algoritmos de síntesis H infinito ni análisis de incertidumbre estructurada; deja claros los datos y la lógica de la garantía.