El determinante resume cuánto cambia un volumen y si su orientación se invierte. Un cambio de base, en cambio, cambia las instrucciones numéricas con las que describimos los mismos vectores. Construiremos ambos significados y distinguiremos la fórmula de un endomorfismo de la de una forma cuadrática.
Si necesitas repasar:
1. El determinante es lineal en una columna cada vez, no en toda la matriz
Para matrices cuadradas, det es multilineal en sus columnas, alternante y vale uno en la identidad. Multilineal significa que podemos sumar o escalar una columna manteniendo las otras fijas. Alternante significa que dos columnas iguales dan cero.
En tamaño dos esas reglas llevan a det[[a,b],[c,d]]=ad−bc. En tamaños mayores usamos permutaciones, cofactores o eliminación; multiplicar diagonales al azar no define un determinante. Una matriz rectangular no tiene este determinante ordinario.
Calcular y conservar el orden de los productos
Halla el determinante de A=[[1,2],[3,4]].
Principal
1·4=4.Cruzado
2·3=6.Restar
4−6=−2.
detA=−2.
Cambiar el orden de las columnas cambiaría el signo; no tomamos valor absoluto hasta hablar de área geométrica.
Por qué det(A+B) no es en general detA+detB
Toma A=B=I de tamaño dos.
Por separado
detA=detB=1, suma dos.Sumar matrices
A+B=2I.Determinante de la suma
2·2=4, distinto de dos.
La linealidad es por una columna fija cada vez, no una suma simultánea de todas las columnas.
En la suma de matrices se cambian las dos columnas a la vez y aparecen contribuciones cruzadas.
2. Cada operación de fila tiene un efecto propio que registramos
Intercambiar dos filas cambia el signo. Multiplicar una fila por c multiplica el determinante por c. Sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia. Lo mismo vale con columnas. En una triangular, el determinante es el producto diagonal.
Al eliminar registramos intercambios y escalas. Si normalizamos un pivote dividiendo una fila, hay que recuperar después ese factor para el determinante original. Que una operación conserve soluciones de un sistema no significa que conserve su determinante.
Triangularizar con un intercambio
Calcula det de [[0,2,1],[1,1,0],[2,0,1]].
Intercambiar
R₁↔R₂ da [[1,1,0],[0,2,1],[2,0,1]] y cambia el signo.Eliminar debajo
R₃←R₃−2R₁ produce (0,−2,1) en la tercera fila.
Completar
R₃←R₃+R₂ produce (0,0,2). El producto diagonal es cuatro.
Recuperar signo
Solo hubo un intercambio; el determinante original es −4.
Resultado −4.
Las dos sumas de múltiplos de filas conservaron el determinante; el intercambio no.
Normalizar cambia el número que estamos calculando
En A=[[2,4],[1,3]], divide la primera fila entre dos.
Nueva matriz
B=[[1,2],[1,3]], con detB=3−2=1.Relación
B se obtuvo escalando una fila por 1/2: detB=(1/2)detA.
Volver
detA=2, no uno.
El factor de normalización se recupera.
La cuenta directa 2·3−4·1=2 verifica la corrección.
3. Determinante no nulo equivale a invertibilidad exacta en el caso cuadrado
Una matriz cuadrada tiene determinante no nulo si y solo si sus columnas son independientes, generan todo el espacio y la matriz es invertible. Un determinante cero significa que alguna dirección no nula se envía a cero.
La magnitud del determinante depende de la escala y no mide por sí sola sensibilidad numérica. Un factor pequeño en todas las direcciones puede conservar proporciones; dos factores muy diferentes pueden producir inestabilidad relativa aunque su producto sea uno. Para ello se estudian normas, valores singulares y número de condición.
Una dirección que desaparece
A=[[1,2],[2,4]]. Relaciona determinante, columnas y núcleo.
Determinante
Cuatro menos cuatro, igual a cero.
Columnas
La segunda es dos veces la primera.
Núcleo
A(−2,1)=0, con entrada no nula; no puede tener inversa.
Las tres comprobaciones expresan la misma degeneración.
La matriz no es cero: todavía puede alcanzar una recta de salidas.
Un determinante pequeño puede ser solo una escala uniforme
Compara A=0,001I₂ con B=diag(10⁶,10⁻⁶).
Determinantes
detA=10⁻⁶; detB=1.Escalas relativas
A estira igual en todas las direcciones. B tiene factores 10⁶ y 10⁻⁶, con razón 10¹².
Conclusión
El tamaño de det solo no ordena su sensibilidad relativa: A tiene condición euclídea uno y B, 10¹².
No decidimos estabilidad solo por algunos decimales del determinante.
Ambas son invertibles exactamente; aquí comparamos efectos relativos de escalas distintas.
4. Componer multiplica determinantes; escalar toda la matriz escala todas sus columnas
La traspuesta conserva el determinante.
Si A es n×n, multiplicarla por c escala sus n columnas, así que det(cA)=cⁿdetA. No es c·detA en general. Es otra consecuencia de que la linealidad es individual por columna.
Composición con una cizalla
A=diag(2,3), B=[[1,4],[0,1]]. Halla det(AB).
Separados
detA=6, detB=1.Producto de factores
det(AB)=6.Matriz directa
AB=[[2,8],[0,3]] tiene diagonal dos y tres; su determinante también es seis.
La cizalla conserva área y A multiplica por seis.
La composición puede alterar direcciones sin cambiar el factor de volumen aportado por la cizalla.
Escala, potencia e inversa
Para A=diag(2,3), calcula det(3A), det(A³) y det(A⁻¹).
Escala de matriz 2×2
3²·6=54.Potencia
6³=216.Inversa
1/6.
Los tres factores responden a operaciones distintas.
Det(3A) no es dieciocho: se multiplicaron las dos columnas por tres.
5. El valor absoluto mide volumen; el signo conserva información de orientación
En ℝ², las columnas son lados de un paralelogramo y |detA| su área. En ℝ³ forman un paralelepípedo de volumen |detA|. Un determinante cero significa degeneración a una dimensión menor.
El signo positivo conserva orientación y el negativo la invierte respecto de las bases orientadas elegidas. No informa por separado de ángulos, longitudes y cizallas: muchas transformaciones diferentes pueden tener el mismo determinante.
Paralelogramo y triángulo
Usa u=(1,2), v=(3,1) como columnas.
Determinante
1·1−3·2=−5.Área
El paralelogramo tiene área cinco.
Mitad
El triángulo con vértices 0,u,v tiene área 5/2.
El signo negativo no es un área negativa.
Cambiar u y v de orden invierte orientación, pero conserva las dos áreas geométricas.
Volumen con reflexión
A=diag(−2,3,4) transforma el cubo unidad.
Determinante
(−2)·3·4=−24.Volumen
El paralelepípedo tiene volumen veinticuatro.
Orientación
La reflexión de la primera dirección cambia el signo respecto de diag(2,3,4).
Mismo volumen que sin la reflexión y orientación contraria.
No se obtiene volumen multiplicando el signo como si fuera una longitud geométrica negativa.
6. La matriz P lleva coordenadas nuevas a antiguas por la combinación de sus columnas
Llamaremos E a la base antigua y B a la nueva. Cada columna de P es un vector de B expresado en E.
Las columnas forman base y P es invertible.
Una lista (s,t) construye (s+t,2t). La frase cambio de base sin indicar sentido deja una ambigüedad que evitaremos escribiendo la ecuación.
Ir de instrucciones nuevas a componentes usuales
En B, un vector tiene coordenadas (1,2). Encuentra sus componentes canónicas.
Columnas
Una vez (1,0) y dos veces (1,2).
Construir
(1,0)+(2,4)=(3,4).Matriz
P(1,2)=(3,4), la misma combinación.
Vector usual (3,4).
No hemos cambiado el vector; solo el sistema con el que se escribe.
Volver resolviendo el sistema
Expresa (5,6) en B.
Ecuaciones
s+t=5 y 2t=6.Resolver
t=3 y s=2.Verificar
2(1,0)+3(1,2)=(5,6).
Coordenadas (2,3) en B.
P⁻¹=[[1,−1/2],[0,1/2]] produce directamente la misma lista.
7. Un endomorfismo cambia de matriz mediante semejanza
Para aplicarlo a coordenadas nuevas hacemos tres etapas: P para entrar en la base antigua, A para actuar y P⁻¹ para volver.
Las matrices semejantes representan la misma transformación. Sus determinantes coinciden porque detP⁻¹·detA·detP=detA. También se conservan traza y polinomio característico. La semejanza no obliga a que las entradas numéricas sean iguales.
Misma transformación, matriz diferente
T tiene A=diag(2,3) en la base canónica. Usa P=[[1,1],[0,2]].
Primero AP
[[2,2],[0,6]].
Después P⁻¹
[[1,−1/2],[0,1/2]] por AP da A_nueva=[[2,−1],[0,3]].Invariantes
Ambas tienen determinante seis y traza cinco.
A_nueva es triangular pero ya no diagonal en esa base.
El cambio no alteró T; las nuevas instrucciones mezclan sus direcciones anteriores.
Verificar sobre un vector concreto
Con [v]_B=(1,2), comprueba T(v) en ambas descripciones.
Ruta antigua
v=(3,4); A v=(6,12).Ruta nueva
A_nueva(1,2)=(0,6).Reconstruir
P(0,6)=(6,12), la misma salida.
El resultado geométrico coincide.
La lista (0,6) en B no es el vector canónico (0,6); requiere la reconstrucción por P.
8. Una forma cuadrática cambia por congruencia, con traspuesta en lugar de inversa
No estamos convirtiendo coordenadas de una salida vectorial; las dos apariciones de x producen P y su traspuesta. Esta transformación se llama congruencia.
La semejanza de endomorfismos usa P⁻¹AP. Solo para P ortogonal, P⁻¹=Pᵀ y coinciden las expresiones. Para A real simétrica y P invertible, la congruencia conserva la inercia: cantidades de direcciones positivas, negativas y nulas; no necesariamente los autovalores concretos.
Sustituir una forma de dos variables
q(x,y)=2x²+3y², con x=u+v, y=2v.
Desarrollar
q=2(u+v)²+12v²=2u²+4uv+14v².Matriz
PᵀAP=[[2,2],[2,14]]; las dos entradas cruzadas suman el coeficiente cuatro de uv.
Comparar
Su determinante es 24, frente a seis de A; vale (detP)²detA=4·6.
Esta matriz no es la semejante [[2,−1],[0,3]] del ejemplo anterior.
La forma sigue siendo positiva para todo vector no nulo, aunque los números de la matriz cambien.
Conservar signos sin conservar autovalores
A=diag(1,−1), P=diag(2,1). Compara congruencia y semejanza.
Congruencia
PᵀAP=diag(4,−1): una dirección positiva y una negativa.
Semejanza
P⁻¹AP=A porque las matrices diagonales se simplifican en ese orden.
Diferencia
En la congruencia el autovalor positivo pasa de uno a cuatro; la inercia permanece (1,1,0).
Congruencia y semejanza describen objetos distintos.
No se reemplaza P⁻¹ por Pᵀ: aquí P no es ortogonal.
9. La comprobación cambia según si representamos un vector, un operador o una forma
Para coordenadas reconstruimos el vector con P.
Para una forma cuadrática desarrollamos x=Pu y mantenemos las dos copias de la sustitución.
La semejanza conserva detA; la congruencia lo multiplica por (detP)². Ese contraste es una comprobación útil de la fórmula elegida. Para una matriz ortogonal sí coincide inversa con traspuesta; lo demostramos con PᵀP=I antes de aprovecharlo.
Comprobar la identidad de semejanza
A=diag(2,3), P=[[1,1],[0,2]], A_nueva=[[2,−1],[0,3]].
Lado izquierdo
AP=[[2,2],[0,6]].Derecho
P A_nueva=[[2,2],[0,6]].Interpretación
Actuar y luego convertir equivale a convertir y actuar con la matriz correspondiente.
AP=P A_nueva confirma la representación.
No es una condición que diga AP=PA; A y P no tienen por qué conmutar.
Cuándo traspuesta e inversa sí coinciden
P=[[0,−1],[1,0]] es un giro de noventa grados. Comprueba la propiedad ortogonal.
Traspuesta
Pᵀ=[[0,1],[−1,0]].Producto
PᵀP=I.Consecuencia
P⁻¹=Pᵀ; en este caso las expresiones P⁻¹AP y PᵀAP son numéricamente iguales.
La igualdad de fórmulas aquí tiene una hipótesis concreta.
Que P sea invertible por sí solo no bastaba; las columnas debían ser ortonormales.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Determinante y solución
A=[[2,1],[1,3]]. Decide si es invertible.
Tamaño
A=[[2,1],[1,3]] es cuadrada 2×2.Determinante
2·3−1·1=6−1=5.Decisión
Cinco es no nulo, por lo que A es invertible.
Inversa
A⁻¹=(1/5)[[3,−1],[−1,2]].Verificar
A[[3,−1],[−1,2]]=5I; dividir por cinco da identidad.Geometría
Sus columnas independientes forman un paralelogramo de área cinco, coherente con el determinante.
A es invertible, con determinante 5.
Las columnas (2,1) y (1,3) no son proporcionales; su paralelogramo tiene área cinco, coherente con la independencia.
EJEMPLO RESUELTO 2
De coordenadas nuevas a usuales
B=((1,1),(1,−1)). Un vector tiene coordenadas (2,3) en B.
Sentido del cambio
Las coordenadas dadas son en B; buscamos componentes usuales.
Matriz
P=[[1,1],[1,−1]], con los vectores de B como columnas.Construir
P(2,3)=2(1,1)+3(1,−1).Componentes
(2,2)+(3,−3)=(5,−1).Volver
a+b=5 y a−b=−1 dan a=2,b=3.Invertibilidad
detP=−2≠0; las coordenadas recuperadas son únicas.
El vector usual es (5,−1).
det P=−2 es no nulo. La inversión de coordenadas es posible, y (x+y)/2 y (x−y)/2 recuperan dos y tres.
Los símbolos que hemos usado
- det A
- Determinante de una matriz cuadrada A.
- I
- Matriz identidad del tamaño correspondiente.
- P
- Matriz cuyas columnas son la base nueva expresada en la antigua.
- [v]_antigua, [v]_nueva
- Coordenadas del mismo vector en las dos bases.
- P⁻¹AP
- Matriz semejante que representa el mismo endomorfismo en otra base.
- PᵀAP
- Matriz de una forma cuadrática real al sustituir x=Pu.
- Orientación
- Signo que distingue el sentido de una base respecto de otra.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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