Integrales impropias y criterios de convergencia

Una integral propia de Riemann trabaja sobre un intervalo cerrado y acotado con una función integrable allí. Un intervalo infinito o una función no acotada junto a un punto exigen otra definición. No evaluamos una primitiva en infinito como si fuera un número real.

Cada corte que utilicemos debe dejar una integral propia válida. Por eso anotamos todas las dificultades antes de calcular: extremo infinito, extremo singular o singularidad interior. Si hay varias, las estudiaremos por separado.

Definimos ∫ₐ^∞f=lim(R→∞)∫ₐᴿf, suponiendo integrabilidad en cada intervalo truncado. Si el límite es finito, converge. Si crece a infinito, disminuye a menos infinito o no tiene límite, diverge como integral real finita.

Que f(x)→0 no basta: las pequeñas contribuciones pueden acumularse sin cota. Un único corte grande tampoco decide el límite. En el dibujo, la parte coloreada solo muestra un fragmento de la cola; la pregunta incluye todo lo que sigue.

Si la dificultad está en cero y el intervalo es (0,b], usamos ε>0 y estudiamos lim(ε→0⁺)∫εᵇf. Para una singularidad en b, truncamos por la izquierda. El signo del acercamiento conserva los puntos donde la función y la integral están definidas.

Un límite finito permite una integral aun con alturas sin cota. Si el límite no es finito, declaramos divergencia. El criterio no consiste en sustituir el extremo problemático en una expresión que allí no está definida.

Si c es singular en el interior, la integral de a a b se define como la suma de las impropias de a a c y de c a b, siempre que ambas converjan finitamente. No acoplamos los cortes para esconder divergencias de signo contrario.

Para ∫₋∞^∞f elegimos un punto finito, por ejemplo cero, y exigimos convergencia de las dos colas. Si una no converge, la integral ordinaria completa tampoco. Elegir otro punto de separación no cambia el resultado si la parte finita intermedia es integrable.

En p=1 la primitiva es ln x y hay divergencia en los dos extremos. Esas condiciones son para la familia exacta de potencias. En otras funciones primero habrá que justificar una comparación apropiada.

Sus integrales truncadas crecen y quedan acotadas. Si la menor f diverge a +∞, también la mayor g. La desigualdad debe cumplirse en toda una cola o vecindad del extremo.

Una mayor divergente no decide la menor; una menor convergente no decide la mayor. Los cambios en un tramo inicial finito no alteran la convergencia de la cola si ese tramo es integrable. Revisamos por separado cualquier otra singularidad.

Si f,g>0 y f/g→L con 0<L<∞ en el extremo, ambas integrales tienen el mismo carácter. Cerca de ese extremo, el cociente queda entre dos constantes positivas y se aplica comparación. Los casos L=0 o L=∞ no permiten afirmar automáticamente equivalencia.

Para una función con signos, convergencia absoluta significa que ∫|f| es finita y garantiza convergencia de ∫f. Las colas satisfacen |∫ᴿˢf|≤∫ᴿˢ|f|, que se hace pequeña. La convergencia sin valor absoluto puede deberse a cancelaciones; veremos un ejemplo en el siguiente apartado.

Para ∫₁^∞sin x/x, integramos por partes con u=1/x y v′=sin x. Hasta R queda −cos R/R+cos1−∫₁ᴿcos x/x²dx. El borde −cos R/R tiende a cero y la última integral converge absolutamente por comparación.

En cambio, ∫₁^∞|sin x|/x diverge.

Cada tramo aporta al menos 1/[3(n+1)]. Esos tramos no se solapan y la suma de las cotas diverge como la armónica.

El valor principal acopla cortes de manera específica. Para 1/x entre −1 y uno, cortes simétricos dan cero. Si el corte negativo es −ε y el positivo 2ε, la suma da −ln2. Esa dependencia muestra por qué no sustituye a dos límites ordinarios independientes.

Si la integral ordinaria converge, el error al truncar es su cola.

Por eso una tolerancia se convierte en un corte concreto. Para funciones acotadas por una cola integrable, obtenemos una cota del error aunque no conozcamos la integral exacta.