Un conjunto reúne elementos; una relación selecciona parejas; una función exige una salida para cada entrada. Vamos a construir esas diferencias con listas, regiones y flechas. Después veremos cómo mover conjuntos mediante imágenes y preimágenes sin confundir sus direcciones ni sus propiedades.
Si necesitas repasar:
1. Un conjunto depende de qué elementos tiene, sin orden ni repeticiones
Repetir el dos o cambiar el orden no crea otro conjunto. Por extensión damos una lista; por comprensión una condición, como {n∈ℕ:n<4}.
La segunda frase compara conjuntos completos, no una entrada aislada. Para probar dos conjuntos iguales comprobamos ambas inclusiones, o equivalencia de pertenencia para cada elemento.
Lista y condición con el dominio declarado
Escribe por extensión {n∈ℤ:−1≤n<3}.
Dominio
Solo enteros, no todos los reales del intervalo.
Fronteras
Incluye −1 y excluye tres.
Lista
{−1,0,1,2}.
Cuatro elementos: −1,0,1,2.
El símbolo < y el dominio entero son dos condiciones que deben cumplirse juntas.
Elemento y subconjunto ocupan niveles distintos
Sea A={1,2}. Decide 1∈A, {1}⊆A y {1}∈A.
Primera
Uno está escrito como elemento: verdadera.
Segunda
El único elemento de {1} es uno y pertenece a A: verdadera.
Tercera
A contiene los números uno y dos, no el conjunto {1} como elemento: falsa.
V,V,F.
El conjunto vacío es subconjunto de A, pero no elemento suyo en esta lista.
2. Las operaciones describen condiciones de pertenencia
A∪B incluye pertenecer a A o a B, también a ambos. A∩B exige las dos pertenencias. A∖B conserva lo que está en A y no está en B; al invertir el orden puede cambiar.
Negar pertenecer a A o B exige no pertenecer a ninguno, de donde (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ. Negar pertenecer a los dos permite que falle una de las condiciones: (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.
| Conjunto | Condición |
|---|---|
| A∪B | Está en A o en B |
| A∩B | Está en A y en B |
| A∖B | Está en A y no en B |
Leer las regiones del dibujo
Con A={1,2,3}, B={3,4}, calcula unión, intersección y las dos diferencias.
Unión
Reunimos todos sin repetir: {1,2,3,4}.
Intersección
El tres aparece en ambos: {3}.
Diferencias
A∖B={1,2}; B∖A={4}.
Unión {1,2,3,4}, intersección {3}, diferencias {1,2} y {4}.
Un elemento compartido no se escribe dos veces en la unión.
El universo cambia el complemento
Con ese A, compara U={1,2,3,4,5} y U′={1,2,3,4,5,6}.
Primer universo
U∖A={4,5}.Segundo
U′∖A={4,5,6}.De Morgan en U
El complemento de A∪B es {5}; Aᶜ={4,5} y Bᶜ={1,2,5}, cuya intersección es {5}.
Complementos {4,5} y {4,5,6}, según el universo.
El universo forma parte del dato; no se buscan objetos fuera de él para completar el complemento.
3. El producto cartesiano conserva la primera y la segunda posición
En (a,b), a es la primera componente y b la segunda. Dos pares ordenados son iguales cuando coinciden sus componentes en ese orden. A×B reúne todas las elecciones con primera en A y segunda en B.
Si los conjuntos son finitos, por cada elemento de A hay tantas opciones como elementos de B. Por eso |A×B|=|A||B|, donde las barras cuentan elementos. A×B y B×A no suelen ser el mismo conjunto, aunque puedan tener el mismo número de pares.
Completar seis casillas
A={a,b}, B={1,2,3}. Enumera A×B.
Primera a
(a,1),(a,2),(a,3).
Primera b
(b,1),(b,2),(b,3).
Contar
Dos opciones iniciales y tres finales: seis.
Seis pares, los del dibujo.
(1,a) pertenece a B×A, no a esta lista de A×B.
Ninguna segunda opción frente a una opción que es el conjunto vacío
Con A={a,b}, compara A×∅ y A×{∅}.
B vacío
No existe ninguna segunda componente: A×∅=∅.B con un elemento
{∅} tiene un elemento, el conjunto vacío.
Dos pares
A×{∅}={(a,∅),(b,∅)}.
Cero pares frente a dos pares.
∅ y {∅} son conjuntos distintos: el segundo no está vacío.
4. El conjunto potencia reúne subconjuntos como elementos
P(A) es el conjunto de todos los subconjuntos de A. Incluye ∅ y A. Sus elementos son conjuntos, mientras que los de A×A son pares ordenados: esas construcciones no se intercambian.
Para cada uno de n elementos de A elegimos incluirlo o excluirlo en un subconjunto. Hay 2ⁿ decisiones distintas. Esa cuenta incluye elegir ninguno y elegirlos todos.
Cuatro subconjuntos de dos elementos
Construye P({a,b}).
Ninguno
∅.
Uno
{a} o {b}.
Ambos
{a,b}.
Reunir como elementos
P({a,b})={∅,{a},{b},{a,b}}.
Cuatro elementos, como 2².
Cada tarjeta del dibujo es un conjunto completo dentro de otro conjunto.
La potencia de un vacío no está vacía
Compara P(∅) con P({∅}).
Primer caso
El único subconjunto de ∅ es ∅; por tanto P(∅)={∅}.Segundo
El conjunto {∅} tiene un elemento; podemos no elegirlo o elegirlo.
Resultado
P({∅})={∅,{∅}}, con dos elementos.
Tamaños uno y dos.
Las fórmulas 2⁰=1 y 2¹=2 confirman los niveles de llaves.
5. Una relación puede dejar entradas sin pareja o asignar varias
Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A×B. Elegimos los pares que cumplen el criterio. No exige que aparezca cada elemento de A ni que tenga una sola pareja en B.
La relación inversa intercambia componentes y siempre existe como relación de B en A. Eso no garantiza una función inversa. Si relacionamos A consigo mismo, podemos estudiar después propiedades como reflexividad, simetría y transitividad.
Leer una relación que no es función
A={a,b,c}, B={1,2}, R={(a,1),(a,2),(c,2)}. Describe sus parejas.
a
Tiene dos parejas, uno y dos.
b
No tiene ninguna.
c
Su única pareja es el número dos.
R es una relación válida; no exige la condición de función.
La lista incluye tres pares distintos, aunque solo haya dos valores de llegada.
Invertir todos los pares
Halla la relación inversa de ese R.
Cambiar posiciones
(a,1) pasa a (1,a).
Otros pares
(a,2) pasa a (2,a) y (c,2) a (2,c).
Dominio de la relación
Ahora relaciona B con A.
R⁻¹={(1,a),(2,a),(2,c)}.
El valor dos tiene dos salidas en la relación invertida, de modo que tampoco es una función de B en A.
6. Una función pide exactamente una imagen para cada entrada del dominio
Una función o aplicación f:A→B exige que cada a∈A tenga una salida f(a) y que esa salida sea única y pertenezca a B. Varias entradas distintas sí pueden compartir una salida. La condición se cuenta por entrada, no por cada elemento de llegada.
A es el dominio y B el codominio. La imagen total f(A) contiene solo lo que realmente se alcanza y puede ser menor que B. Declarar esos conjuntos forma parte de definir la función; una fórmula por sí sola no resuelve preguntas sobre todas sus propiedades.
Dos entradas comparten salida sin dejar de ser función
En el dibujo, f(a)=1, f(b)=1 y f(c)=2. ¿Es función?
Existencia
a,b,c tienen cada una una flecha.
Unicidad
Ninguna tiene dos destinos.
Codominio
Las dos imágenes permitidas pertenecen a B={1,2}.
Sí, es función.
La coincidencia f(a)=f(b) afectará a inyectividad, no a la unicidad de salida de cada entrada.
La fórmula puede salir del codominio que se anunció
Se propone h:ℝ→(0,∞), h(x)=x². ¿Cumple la definición?
Entrada permitida
Cero pertenece al dominio ℝ.
Valor de la regla
h(0)=0.Destino permitido
Cero no pertenece a (0,∞).
No es una aplicación a ese codominio tal como se declaró.
Con codominio [0,∞) o ℝ la misma fórmula sí daría una función bien definida.
7. Inyectiva distingue entradas; sobreyectiva alcanza todo el codominio
Para refutarla encontramos dos entradas distintas con igual salida. Sobreyectividad significa que cada b∈B tiene alguna preimagen en A; para refutarla basta una salida del codominio inalcanzable.
Una biyección cumple ambas: cada salida tiene exactamente una preimagen. Al probarlas usamos entradas o salidas arbitrarias; no basta revisar dos valores elegidos. Cambiar dominio o codominio puede cambiar la propiedad aunque conservemos la regla.
Una función sobreyectiva no inyectiva
Clasifica la función del dibujo anterior.
Coincidencia
a≠b y f(a)=f(b)=1: no es inyectiva.Alcanzar uno
Lo producen a o b.
Alcanzar dos
Lo produce c; no hay más elementos de B.
Sobreyectiva y no inyectiva.
Los dos análisis preguntan cosas distintas de las flechas.
Una función inyectiva con una salida sin usar
A={a,b}, B={1,2,3}, f(a)=1 y f(b)=2.
Entradas distintas
Tienen imágenes distintas: inyectiva.
Salida tres
No tiene preimagen.
Resultado
No es sobreyectiva con ese B.
Inyectiva y no sobreyectiva.
Reducir el codominio a {1,2} produciría una biyección, pero sería otra declaración de función.
Probar un caso infinito
Estudia x² de [0,∞) a [0,∞).
Sobreyectividad
Dada cualquier y≥0, elegimos x=√y≥0 y x²=y.Inyectividad
Si a²=b² con a,b≥0, (a−b)(a+b)=0.Casos
Si a+b=0, ambos son cero; si es positivo, el factor a−b debe ser cero.
Es biyectiva.
Con dominio ℝ perdería inyectividad porque uno y menos uno dan la misma imagen.
8. Imagen avanza desde entradas; preimagen recoge todas las entradas de un conjunto de salidas
Para S⊆A, f(S) reúne las salidas de sus elementos, sin repetirlas.
Esa preimagen es un conjunto del dominio y puede estar vacía o contener varias entradas.
La notación f⁻¹(C) no presupone que haya función inversa. Pide resolver una condición de pertenencia en todo A. El dominio puede eliminar soluciones que una ecuación aislada sugeriría.
Las dos direcciones en las flechas
En f(a)=f(b)=1 y f(c)=2, calcula f({a,c}) y f⁻¹({1}).
Imagen
Desde a y c llegamos a uno y dos.
Preimagen
Buscamos todas las entradas que acaben en uno: a y b.
Tipos
La imagen es un subconjunto de B; la preimagen es un subconjunto de A.
Imagen {1,2}; preimagen {a,b}.
No elegimos solo a como representante de la preimagen: también b cumple la condición.
Una fórmula que reúne dos entradas
Para f:ℝ→ℝ, f(x)=x², halla f({−3,0,3}) y f⁻¹({9}).
Avanzar
Los valores son nueve,cero,nueve: imagen {0,9}.
Volver como conjunto
Resolver x²=9 da x=−3 o x=3.Otra salida
f⁻¹({−1}) es vacío porque ningún cuadrado real es negativo.
Imagen {0,9}; preimagen de {9}: {−3,3}.
Repetir una salida no crea dos elementos iguales en un conjunto.
La preimagen de un intervalo puede tener dos trozos
Con ese f real, halla f⁻¹([1,4]).
Condición
1≤x²≤4.No negativos
Uno≤x≤dos.Negativos
−2≤x≤−1.Reunir
[−2,−1]∪[1,2].
[−2,−1]∪[1,2].
Si el dominio fuera solo [0,∞), quedaría únicamente el segundo intervalo.
9. Componer sigue dos reglas; una inversa de función necesita una biyección
La compatibilidad permite la segunda aplicación. Cambiar el orden puede dar otro resultado o una composición no definida con los conjuntos anunciados.
Una biyección tiene inversa f⁻¹:B→A, que recupera la única entrada de cada salida. Sus composiciones con f son las identidades de A y B. Si no hay biyección, siempre puede invertirse la relación de pares, pero no obtener necesariamente una función inversa en todo B.
El orden importa aunque ambas composiciones existan
En ℝ, f(x)=2x+1 y g(x)=x². Calcula g∘f y f∘g.
Primero f
g(f(x))=(2x+1)².Primero g
f(g(x))=2x²+1.Entrada uno
Las salidas son nueve y tres.
Son funciones distintas.
El símbolo más cercano a la entrada actúa primero.
Construir y comprobar una inversa
Para h:ℝ→ℝ, h(x)=3x−2, encuentra la regla inversa.
Resolver una salida y
y=3x−2 implica x=(y+2)/3, real para cualquier y real.Composición sobre entradas
((3x−2)+2)/3=x.Sobre salidas
3((y+2)/3)−2=y.
h⁻¹(y)=(y+2)/3.
Se comprueban las dos identidades en sus dominios, no solo un ejemplo numérico.
10. Las preimágenes conservan condiciones lógicas; las imágenes pueden reunir entradas diferentes
Las preimágenes conservan unión, intersección y complemento relativo: f(x)∈C∩D equivale a f(x)∈C y f(x)∈D.
La imagen conserva uniones, pero en general f(S∩T) solo está incluida en f(S)∩f(T). Las dos últimas imágenes pueden contener la misma salida gracias a entradas distintas. Si f es inyectiva, esas dos entradas deben coincidir y pertenecer a S∩T, recuperando la igualdad.
Una intersección de preimágenes con fronteras
Para f(x)=x² en ℝ, toma C=[0,1] y D=[1,4].
Preimagen de C
[−1,1].
Preimagen de D
[−2,−1]∪[1,2].
Intersección
Solo {−1,1}.
Primero intersectar salidas
C∩D={1}, cuya preimagen también es {−1,1}.
Las dos formas producen {−1,1}.
Las igualdades de los extremos permiten que ambos puntos permanezcan en la intersección.
Una imagen de intersección puede perder una salida común
Con f(a)=f(b)=1 y a≠b, toma S={a}, T={b}.
Entradas comunes
S∩T=∅ y f(S∩T)=∅.Imágenes por separado
f(S)=f(T)={1}.Comparar
Su intersección es {1}, mayor que la imagen del conjunto vacío.
La inclusión es estricta en este caso.
Para unión sí se cumple f(S∪T)=f(S)∪f(T): cada entrada elegida procede de S o de T.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Imagen y preimagen
Sea f:R→R, f(x)=x². Calcula f({−2,1}) y f⁻¹({4}).
Primera tarea: imagen
Aplicamos x² a cada entrada de {−2,1}.
Valores
(−2)²=4 y 1²=1; la imagen es {1,4}.Segunda: preimagen
Buscamos todos los reales con x²∈{4}, es decir x²=4.
Dos soluciones
x=−2 y x=2, por tanto f⁻¹({4})={−2,2}.Comprobar sentidos
Aplicar f a {−2,2} da solo {4}; la salida uno de la primera tarea no formaba parte de la condición de la segunda.
Imagen {1,4}; preimagen {−2,2}.
Al aplicar f a {−2,2} solo se obtiene {4}. La salida uno de la primera imagen procede de la entrada uno y no pertenece a la segunda pregunta.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cambiar el codominio
¿Es sobreyectiva f:R→[0,∞), f(x)=x²?
Tomar una salida arbitraria
Sea y cualquier elemento del codominio [0,∞).
Construir preimagen
x=√y es real y cumple x²=y.Sobreyectividad
Toda salida permitida queda alcanzada.
Inyectividad
Uno y menos uno son entradas distintas con imagen uno: no es inyectiva.
Revisar el codominio
Con codominio ℝ, una salida negativa no tendría preimagen y ya no sería sobreyectiva.
Sí; no es inyectiva porque f(1)=f(−1).
Si cambiáramos el codominio a R, −1 no tendría preimagen. Esa modificación eliminaría la sobreyectividad sin cambiar la fórmula.
Los símbolos que hemos usado
- x∈A, A⊆B
- x pertenece a A; todos los elementos de A pertenecen a B.
- ∅
- Conjunto vacío, que no tiene elementos.
- A∪B, A∩B, A∖B
- Unión, intersección y diferencia de conjuntos.
- A×B
- Producto cartesiano: conjunto de pares ordenados con primera componente en A y segunda en B.
- f:A→B
- Función de dominio A y codominio B.
- f(S), f⁻¹(C)
- Imagen de un conjunto S de entradas y preimagen de un conjunto C de salidas.
- g∘f
- Composición: primero se aplica f y después g.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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