Contar fichas, sumar sus pesos y medir la longitud de un intervalo son operaciones parecidas: reunimos piezas y sumamos tamaños cuando no se solapan. Esa idea se convierte en medida al exigir que funcione también para listas numerables. Veremos sus propiedades y cómo extender una asignación de tamaños desde conjuntos sencillos.
Si necesitas repasar:
1. Una medida asigna tamaños no negativos a los conjuntos permitidos
Fijamos primero un espacio medible (X,Σ). Una medida μ asigna a cada A∈Σ un número de [0,∞], con μ(∅)=0.
La suma de no negativos se define como límite de sumas parciales y puede ser infinita.
El triple (X,Σ,μ) es un espacio de medida. Una probabilidad es una medida con μ(X)=1; una medida general puede tener tamaño total distinto de uno o infinito. Los valores negativos no están permitidos y cero sí. Evitamos despejar expresiones que exigirían ∞−∞.
Comprobar una medida en cuatro puntos
X={a,b,c,d}, todos sus subconjuntos medibles, pesos 2,0,3,1.
Definir
μ(A) es la suma de pesos de los puntos de A.
Vacío
La suma sin puntos vale cero.
Disjuntos
Si los conjuntos no se solapan, cada peso aparece una sola vez al unirlos. En una familia disjunta solo puede haber finitos conjuntos no vacíos.
Es una medida con μ(X)=6.
El singleton {b} no está vacío y tiene medida cero: medida cero no equivale a conjunto vacío.
No toda asignación no negativa es una medida
En X={a,b}, propón m(∅)=0, m({a})=m({b})=1 y m(X)=1.
Signos
Los cuatro valores son no negativos.
Unión disjunta
{a}∪{b}=X.Aditividad
El valor exigido sería 1+1=2, pero se asignó uno.
La asignación falla como medida.
La no negatividad y el valor del vacío son necesarios, pero no sustituyen la aditividad.
2. El mismo conjunto puede medir diferente según la regla elegida
Conteo cuenta puntos: una parte finita mide su número de elementos y una infinita mide ∞. Una masa de Dirac δc vale uno si el conjunto contiene c y cero si no. En un espacio finito también podemos sumar pesos no negativos.
La longitud de Lebesgue en ℝ asigna a un intervalo sus extremos restados y da medida cero a cada singleton. Incluir o excluir extremos no cambia esa longitud. Todas estas reglas son medidas, pero responden a preguntas diferentes.
Comparar tres medidas sobre un singleton
A={2} en ℝ.
Conteo
Hay un punto: medida uno.
Longitud
Un punto puede cubrirse con intervalos de longitud arbitrariamente pequeña: medida cero.
Dirac
δ₂(A)=1, mientras δ₀(A)=0.
El conjunto es el mismo y los tamaños dependen de μ.
No se eliminan puntos de una integral sin comprobar antes qué medida se está usando.
Convertir pesos en una probabilidad
Usa los pesos 2,0,3,1 del primer ejemplo.
Total
La suma vale seis.
Normalizar
Define P(A)=μ(A)/6.Evento
P({a,c})=(2+3)/6=5/6 y P(X)=1.
Dividir por el total finito positivo conserva aditividad y normaliza.
No podríamos normalizar así una medida total cero ni una total infinita.
3. Monotonía: una parte no puede medir más que el conjunto que la contiene
Si A⊆B son medibles, B se separa en A y B∖A, dos piezas disjuntas.
La monotonía se deduce de los axiomas.
Si μ(A)<∞, podemos escribir μ(B∖A)=μ(B)−μ(A), admitiendo infinito menos una cantidad finita. Si ambas medidas son infinitas no restamos: la igualdad de suma sigue siendo válida, pero no decide el tamaño de la diferencia.
Separar una parte finita
μ(B)=11, A⊆B y μ(A)=4.
Disjunción
B=A∪(B∖A), sin solapamiento.Ecuación
11=4+μ(B∖A).Restar
Todas las cantidades dadas son finitas: μ(B∖A)=7.
La parte restante mide 7.
4+7=11 y ambas piezas quedan por debajo del total.
Infinito menos infinito puede ocultar cualquier resto
Usa longitud, B=[0,∞) y compara A=[1,∞) con A=B.
Primer caso
B y A miden ∞; B∖A=[0,1), de medida uno.Segundo caso
Las medidas siguen siendo ∞ y ∞; B∖B es vacío, de medida cero.
Comparar
Los mismos dos datos infinitos producen restos distintos.
∞−∞ no define el tamaño de una diferencia.
Con A={0}∪[1,∞), la misma precaución sigue siendo necesaria; se mide la parte restante directamente.
4. Si se solapan, sumar todos los tamaños puede contar puntos varias veces
Es subaditividad.
Son disjuntas, reconstruyen la misma unión y cada Bₙ está dentro de Aₙ.
La intersección se había contado dos veces. Si aparece una resta indeterminada con infinitos, usamos descomposiciones disjuntas en lugar de esa fórmula abreviada.
Dos intervalos que se pisan
A=[0,3], B=[2,5], con longitud.
Medidas
Cada intervalo mide tres.
Solapamiento
A∩B=[2,3] mide uno.Corregir
La unión es [0,5] y mide 3+3−1=5.
La suma seis era una cota, no la medida exacta de la unión.
Las piezas [0,2), [2,3] y (3,5] permiten comprobar el resultado sin duplicar puntos.
Una cota para una unión infinita
Para cada k≥1, μ(Aₖ)≤ε/2ᵏ.
No exigir disjunción
Los conjuntos pueden solaparse.
Subaditividad
μ(∪ₖAₖ)≤Σₖμ(Aₖ)≤εΣₖ2⁻ᵏ.Geométrica
Σ desde k=1 de 2⁻ᵏ=1.
La unión tiene medida a lo sumo ε.
Elegir costes que suman una cantidad pequeña es una herramienta para cubrir conjuntos nulos.
5. Continuidad desde abajo: las piezas se van incorporando
No se exige que el universo ni el primer conjunto tengan medida finita.
Las Dₙ son disjuntas; A es su unión y A_N reúne las primeras N. La aditividad numerable dice que μ(A) es precisamente el límite de esas sumas parciales.
Una unión que no llega a incluir el extremo
Aₙ=[0,1−1/n], n≥1, con longitud.
Encajamiento
El extremo derecho aumenta.
Unión
Todo x<1 y x≥0 entra a partir de algún n, pero uno nunca entra: unión [0,1).
Medidas
μ(Aₙ)=1−1/n→1.
La unión mide 1.
La convergencia de tamaños no obliga a que el extremo uno pertenezca a ningún intervalo.
Una conclusión infinita sin contradicción
Aₙ=[−n,n] en ℝ.
Crecimiento
Los intervalos se incluyen unos en otros.
Unión
Todo real queda dentro para n suficientemente grande: la unión es ℝ.
Tamaños
μ(Aₙ)=2n→∞, por tanto μ(ℝ)=∞.
La continuidad desde abajo admite valor infinito.
No hay una resta de infinitos en la prueba por piezas nuevas.
6. Continuidad desde arriba: ahora sí necesitamos una finitud
También basta que algún Aₖ tenga medida finita: empezamos la cadena allí.
Para probarlo, A₁∖Aₙ crece hacia A₁∖A. Aplicamos continuidad desde abajo y restamos de la cantidad finita μ(A₁). La finitud evita la operación ∞−∞; sin ella, la afirmación puede ser falsa.
Intervalos que terminan en un punto
Aₙ=[−1/n,1/n].
Decrecimiento
Cada intervalo está dentro del anterior.
Intersección
Solo cero pertenece a todos.
Finitud y límite
El primero mide dos; las longitudes 2/n tienden a cero, medida de {0}.
El teorema confirma que el singleton mide cero.
Aquí sí se comprobó la hipótesis de finitud.
Decrecer hasta vacío sin que baje la medida
Aₙ=[n,∞) con longitud.
Intersección
Cualquier x real queda fuera cuando n>x, de modo que la intersección es vacía.
Medidas
Cada semirrecta tiene medida infinita.
Fallo
El límite de las medidas es ∞, distinto de μ(∅)=0.
La condición finita no puede eliminarse en general.
La monotonía de los conjuntos se cumple; lo que falta es exactamente la finitud requerida.
7. Antes de extender, fijamos una premedida consistente en una álgebra
Una álgebra de conjuntos contiene X y es cerrada bajo complementos y uniones finitas. Una premedida μ₀ en ella satisface μ₀(∅)=0 y aditividad numerable siempre que una familia disjunta tenga su unión todavía dentro de esa álgebra.
Queremos extenderla a σ de la álgebra, donde aparecen nuevos límites y uniones. La asignación inicial debe ser consistente: distintas representaciones de un mismo conjunto no pueden producir tamaños distintos. La condición de premedida es más fuerte que comprobar solo dos piezas.
Longitud en piezas de intervalos
En X=[0,1), usa uniones finitas disjuntas de intervalos [a,b) contenidos en X.
Álgebra
Intersecar y complementar dentro de X solo divide los intervalos en finitas piezas del mismo tipo.
Asignación
A cada pieza [a,b) le damos longitud b−a y sumamos las piezas.
Consistencia
Refinar un intervalo en un punto c conserva (c−a)+(b−c)=b−a.
Es la asignación inicial de longitud, cuya propiedad de premedida permite extenderla.
La cuenta de refinamiento explica consistencia finita; la aditividad numerable de la longitud requiere además su demostración, no sale solo de esa identidad.
Aditividad finita no garantiza premedida
En ℕ, usa la álgebra finito/cofinito y da peso cero a finitos y uno a cofinitos.
Finita
Dos partes disjuntas no pueden ser ambas cofinitas; la regla respeta sumas finitas.
Lista
Los singletons {n} son disjuntos y cada uno tiene peso cero.
Unión en la álgebra
Su unión ℕ es cofinita y pesa uno, no Σ0=0.
La asignación no es premedida.
El fallo se da en una unión numerable que sí pertenece a la álgebra inicial.
8. Cubrir y minimizar el coste produce una medida exterior
Para cualquier E⊆X, tomamos cubiertas numerables E⊆∪Aₙ con Aₙ en la álgebra inicial y definimos μ*(E)=inf Σμ₀(Aₙ). Si no hay cubierta, el ínfimo se toma ∞. Buscamos el menor coste posible, no necesariamente una cubierta que lo alcance.
El resultado es una medida exterior: vale cero en vacío, es monótona y subaditiva numerablemente. Para la última propiedad, cubrimos cada Eₖ casi óptimamente con error ε/2ᵏ y reunimos todas las cubiertas. Deja un error total a lo sumo ε, que podemos hacer tender a cero.
Aún no hemos obtenido aditividad sobre todos los subconjuntos.
Un punto cuesta arbitrariamente poco
Construye longitud exterior de {c} con cubiertas por intervalos.
Cubrir
Para cualquier ε>0, un intervalo centrado en c de longitud ε cubre el punto.
Ínfimo
La longitud exterior es ≤ε para todo ε>0 y es no negativa.Conclusión
Solo puede valer cero.
Un singleton tiene longitud exterior cero.
No necesitamos cubrirlo con un intervalo de longitud exactamente cero.
Una lista de puntos también cuesta cero
E={c₁,c₂,…}; fija ε>0.
Repartir coste
Cubre cₖ con un intervalo de longitud menor que ε/2ᵏ.
Reunir
La lista de intervalos cubre E y el coste total es menor o igual que ε.
Hacer pequeño
Como ε es arbitrario, μ*(E)=0.
Todo conjunto numerable tiene longitud exterior cero.
La misma prueba no admite una lista no numerable de intervalos: el coste se definió para cubiertas numerables.
9. Carathéodory selecciona los cortes que no pierden tamaño
Un conjunto A es medible para μ* si para todo E⊆X se cumple μ*(E)=μ*(E∩A)+μ*(E∖A). La subaditividad ya asegura ≤; la condición exige la otra desigualdad. El corte debe funcionar contra cualquier E, no solo tomando E=X.
El teorema de Carathéodory afirma que esos A forman una sigma-álgebra y que la restricción de μ* es una medida completa. Cuando μ* procede de una premedida, incluye la álgebra original y conserva sus valores. La existencia de esta extensión es un teorema; no se deduce de llamar medida al ínfimo.
El vacío siempre hace un corte correcto
Comprueba el criterio para A=∅.
Piezas
E∩∅=∅ y E∖∅=E.Medidas exteriores
La suma es cero más μ*(E).
Todo E
La igualdad se cumple incluso si μ*(E)=∞.
∅ es medible para cualquier medida exterior.
No aparece una resta de infinitos; se suman cantidades no negativas.
Las partes de conjuntos exteriores nulos quedan incluidas
Supón μ*(N)=0 y A⊆N.
Parte pequeña
μ*(E∩A)≤μ*(N)=0.Otra parte
Por monotonía μ*(E∖A)≤μ*(E).Dos desigualdades
La suma de ambas es ≤μ*(E); la subaditividad da la desigualdad contraria.
A satisface el criterio y su medida es cero.
Esta inclusión de todas las partes de conjuntos nulos explica la completitud de la medida obtenida.
10. Extensión, unicidad y completación responden a preguntas distintas
La construcción anterior da existencia de una extensión a σ de la álgebra. Si la premedida es sigma-finita, esa extensión es única allí. Sigma-finita significa que X se cubre por numerablemente muchos conjuntos de medida finita. No exige que μ(X) sea finita.
Completar una medida añade todos los subconjuntos de sus conjuntos nulos. La longitud boreliana se completa para obtener la medida de Lebesgue completa. La aditividad sigue siendo numerable: una unión no numerable de puntos nulos puede tener medida positiva.
Longitud infinita, pero sigma-finita
X=ℝ con longitud.
Cubierta
ℝ=∪ desde n=1 de [−n,n].Cada pieza
[−n,n] tiene longitud 2n, finita.
Total
La medida total es infinita, pero la cubierta verifica sigma-finitud.
Finita y sigma-finita son condiciones diferentes.
La sigma-finitud permite usar la conclusión de unicidad de la extensión de longitud en Borel.
No sumar una familia no numerable de ceros
[0,1] es la unión de {x} para todos sus puntos.
Cada punto
Su longitud es cero.
Cantidad
Los puntos del intervalo no admiten una enumeración numerable.
Tamaño de la unión
El intervalo tiene longitud uno.
No hay contradicción con aditividad numerable.
La hipótesis numerable forma parte de la regla, no es una palabra decorativa.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Diferencia de conjuntos
μ(A)=7, μ(B)=3 y B⊂A. Calcula μ(A∖B).
Inclusión
B⊂A permite separar A en B y A∖B.Medibilidad
La diferencia de conjuntos medibles sigue siendo medible.
Disjunción
Las dos piezas no tienen puntos comunes.
Aditividad
μ(A)=μ(B)+μ(A∖B), así que 7=3+μ(A∖B).Finitud
Las medidas dadas son finitas, por tanto podemos restar tres.
Resultado
μ(A∖B)=7−3=4; las medidas de las dos piezas suman siete.
4.
Las piezas tienen medidas tres y cuatro y suman siete. La diferencia también queda por debajo de μ(A), como exige monotonía.
EJEMPLO RESUELTO 2
Continuidad desde abajo
Calcula la medida de ∪ₙ[0,1−1/n].
Convención
Usamos longitud de Lebesgue y n≥1; el primer intervalo es [0,0].Crecimiento
El extremo 1−1/n aumenta, así que los intervalos están encajados crecientemente.
Puntos que entran
Si 0≤x<1, un n suficientemente grande cumple 1/n≤1−x y hace que x pertenezca al intervalo.
Extremo excluido
Uno no pertenece a ningún intervalo; la unión es [0,1).
Longitudes
Cada intervalo mide 1−1/n, que tiende a uno.
Teorema
Por continuidad desde abajo, la medida de la unión es uno. No necesitamos finitud adicional para este sentido.
Medida de Lebesgue 1.
[0,1) tiene longitud uno. Incluir o excluir un extremo singleton no cambia esa medida.
Los símbolos que hemos usado
- (X,Σ,μ)
- Espacio con universo X, sigma-álgebra Σ y medida μ.
- μ(A)
- Tamaño de A medible, en [0,∞].
- Aₙ↑A, Aₙ↓A
- Familia creciente con unión A o decreciente con intersección A.
- Premedida μ₀
- Asignación en una álgebra que es numerablemente aditiva cuando la unión permanece en ella.
- μ*
- Medida exterior obtenida mediante recubrimientos; está definida para todo subconjunto.
- Sigma-finita
- El universo admite un recubrimiento numerable por conjuntos de medida finita.
- Medida completa
- Todos los subconjuntos de conjuntos medibles de medida cero son medibles.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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