Bases, subespacios y aplicaciones continuas

Una familia ℬ es base sobre X si cada punto pertenece a alguna pieza, y si para x∈B₁∩B₂ existe B₃ de la familia con x∈B₃⊂B₁∩B₂. La intersección completa no necesita ser una pieza; basta encontrar una pieza menor alrededor de cada punto compartido.

Las uniones de piezas forman una topología. La cobertura produce X y la unión vacía produce ∅. Para una intersección de dos uniones, cada punto dispone de dos piezas que lo contienen y de un refinamiento dentro de ambas; la intersección es unión de esos refinamientos.

Así se demuestra el axioma, en vez de suponerlo.

U es abierto de la topología generada por una base si cada x∈U tiene una pieza B con x∈B⊂U. El conjunto U puede ser una unión grande de piezas pequeñas y no parecerse a ninguna de ellas.

En ℝ usual, los intervalos de extremos racionales forman una base. Si x está dentro de un abierto, primero elegimos un intervalo real alrededor de x que quepa en él; por densidad de ℚ, encontramos racionales p<x<q dentro de ese intervalo. La pieza (p,q) contiene x aunque x sea irracional.

Dos bases generan la misma topología si cada pieza de cada familia es abierta para la otra. Basta comprobar que alrededor de cada punto de una pieza existe una pieza de la otra contenida en ella. Se prueban las dos direcciones.

Una base local en x solo debe refinar los entornos de ese punto. La familia de bolas B(x,1/n) sirve localmente en un métrico, pero al fijar ese único centro no describe todos los abiertos del espacio. No confundimos una lista por punto con una base global.

Para Y⊂X, los abiertos relativos son Y∩U con U abierto de X. Si ℬ es una base de X, los conjuntos Y∩B forman una base de Y; podemos descartar los vacíos. Las uniones se distribuyen con la intersección por Y.

La topología relativa conserva exactamente la información que se ve desde dentro de Y. Un conjunto puede incluir un extremo y aun así ser abierto relativo si no existen puntos del ambiente al otro lado. Un cerrado relativo tiene forma Y∩C, con C cerrado en X.

Se define para toda función, aunque dos entradas compartan salida o haya salidas sin ninguna entrada. El símbolo no exige que exista una función inversa.

f es continua si la preimagen de cada abierto de Y es abierta de X. Localmente equivale a: dado x y un abierto V que contiene f(x), existe un abierto U que contiene x y cumple f(U)⊂V. Las entradas de U garantizan salidas en V; esa es la traducción topológica del control de cercanía.

Si cada pieza C de una base del codominio tiene preimagen abierta, cualquier abierto V del codominio es unión de esas piezas. Como f⁻¹ respeta uniones, f⁻¹(V) será una unión de abiertos y f será continua.

No basta comprobar un solo intervalo aislado: hace falta un argumento que cubra toda la base. Entre espacios métricos, la misma definición equivale a ε–δ: para cada x y ε>0, existe δ>0 tal que dₓ(x,z)<δ implica dᵧ(f(x),f(z))<ε. El radio puede depender de x y de ε.

Si ambas funciones son continuas, primero aparece un abierto de Y y después uno de X. Así la composición conserva continuidad.

Restringir una continua a Y equivale a componer con i. Si f toma valores en un subespacio A⊂Z, verla con codominio A también es continua: la preimagen de A∩V coincide con la de V porque f ya llega siempre a A.

Una función es abierta si lleva todo abierto del dominio a un abierto del codominio. La continuidad controla preimágenes, no imágenes. Tampoco garantiza que la imagen de un cerrado sea cerrada. Las dos direcciones de transporte cumplen reglas diferentes.

Si f es biyectiva, su inversa es continua exactamente cuando f es abierta. Para U abierto del dominio de f, la preimagen de U mediante la función inversa es f(U). Esta equivalencia permite demostrar homeomorfismos comprobando imágenes abiertas, además de continuidad y biyección.

Un homeomorfismo es una biyección continua con inversa continua. Conserva la información topológica, aunque pueda cambiar distancias y ángulos. Tener el mismo conjunto de puntos o una biyección continua por sí sola no basta.

Para demostrarlo comprobamos dominio y codominio, biyección, continuidad de f y continuidad de su inversa, o equivalentemente que f sea abierta. Para descartar una supuesta equivalencia basta encontrar un abierto que la inversa no transporte de la forma exigida.