Principio del argumento y aplicaciones conformes

Si f no se anula ni tiene polos sobre una curva cerrada γ, su imagen evita el origen. Podemos seguir un argumento continuo a lo largo del parámetro, sin obligarlo a permanecer en el intervalo principal. Al cerrar la vuelta, el cambio angular es 2π veces un entero firmado.

Restar únicamente Arg del punto inicial y final daría cero y perdería las vueltas. Aquí antihorario cuenta positivo y horario negativo. La imagen geométrica tampoco dice cuántas veces la recorremos: el parámetro conserva esa información.

Sea f meromorfa en un entorno de una región cerrada con frontera simple positiva γ, sin ceros ni polos sobre γ. Entonces (1/(2πi))∮γ f′/f dz=N−P, donde N suma órdenes de ceros y P suma órdenes de polos interiores. La variación del argumento de f(γ) es 2π(N−P).

La función meromorfa solo admite polos como singularidades interiores; esta versión no incorpora esenciales. Para conocer N a partir de la integral hay que conocer también P. Un cero o polo en el contorno impide usar esta división de manera ordinaria.

El último término es holomorfo cerca de a; el residuo es m. En un polo de orden m usamos exponente −m y el residuo es −m.

El teorema de residuos suma esos enteros y prueba el conteo. A lo largo del camino, integrar f′/f también acumula cambios de logaritmo: la parte real, log del módulo, vuelve al mismo valor; la parte imaginaria registra las vueltas del ángulo.

Si f,g son holomorfas alrededor de la región cerrada y |g|<|f| en toda la frontera, f y f+g tienen el mismo número de ceros interiores con multiplicidad. Debe ser desigualdad estricta en cada punto de la frontera.

Su número de vueltas no puede cambiar continuamente entre enteros distintos sin pasar por cero. El principio del argumento conserva por tanto el conteo; las posiciones de las raíces sí pueden cambiar.

Los demás términos se acotan por la suma de módulos. Podemos comparar con un monomio distinto del principal si domina en ese radio.

Una cota gruesa que solo produce igualdad no certifica la desigualdad estricta, pero tampoco demuestra que la desigualdad real falle. Se puede afinar la estimación o cambiar el radio. Comprobar solo unos puntos del círculo nunca sustituye una cota de toda la frontera.

Si f′(a)≠0, la aproximación escala por |f′(a)| y gira por un argumento de f′(a). Dos direcciones reciben el mismo giro, por lo que se conservan sus diferencias angulares: conformidad local.

Si la derivada es cero, el primer término no nulo puede tener grado m>1 y multiplicar ángulos por m. El giro por i del dibujo es un caso exacto de la regla lineal, con escala uno; en funciones generales la descripción se aplica al límite de desplazamientos pequeños.

Una holomorfa con derivada no nula posee inversa holomorfa en un entorno suficientemente pequeño de cada punto. La función puede repetir valores entre puntos lejanos del dominio y perder inyectividad global.

Para un mapa conforme biyectivo entre regiones comprobamos también dominio completo, imagen, inyectividad y una inversa válida. No basta calcular una derivada no cero y dar por resuelta la correspondencia de regiones.

F(z)=(az+b)/(cz+d), con ad−bc≠0, tiene derivada (ad−bc)/(cz+d)² donde el denominador no se anula. En el plano extendido es biyectiva y trata el polo como imagen infinita. Donde es finita, la derivada no se anula.

Estas transformaciones llevan rectas o circunferencias a rectas o circunferencias, consideradas juntas como circunferencias generalizadas. Si c≠0, se descomponen en traslación, recíproco 1/z y una escala/giro con traslación final; si c=0 son afines. El punto infinito explica que una recta pueda convertirse en círculo.

Si |w|<1, su parte imaginaria es (1−|w|²)/|1−w|²>0, lo que prueba que la inversa vuelve a todo el semiplano superior. Así se verifican imagen, inyectividad y sobreyectividad. La recta real va al borde unidad, cuyo punto uno corresponde al infinito.