Una serie no es solo una lista de términos: también lleva un centro y una región donde su suma representa una función. Las potencias no negativas trabajan en discos; las negativas permiten describir anillos. Empezaremos con geométricas y veremos cómo la misma función cambia de desarrollo al pasar una singularidad.
Si necesitas repasar:
1. Fijamos centro y coeficientes; después elegimos dónde evaluar
En Σ desde n=0 de aₙ(z−a)ⁿ, a es un centro fijo, aₙ son coeficientes y z es la entrada. Para cada z obtenemos una serie de números complejos, definida como límite de sumas parciales. En el centro solo queda a₀.
Existe un radio R∈[0,∞] que garantiza convergencia absoluta para |z−a|<R y divergencia para |z−a|>R.
Si R=0, la convergencia en el único centro no produce por sí sola una función holomorfa en un entorno.
Una geométrica con centro desplazado
Σ desde n=0 de (z−2)ⁿ/3ⁿ.
Datos
Centro dos, coeficientes 3⁻ⁿ y razón (z−2)/3.
Región
La razón tiene módulo menor que uno si |z−2|<3.
Suma
1/[1−(z−2)/3]=3/(5−z); en el centro da uno.
El radio es 3 y el disco está centrado en 2.
No se sustituye |z|<3 cuando el centro no es cero.
Los dos radios extremos
Compara Σn!zⁿ con Σzⁿ/n!, empezando en n=0.
Factoriales arriba
Con z≠0, el cociente de módulos de términos es (n+1)|z| y acaba siendo mayor que dos; los términos no tienden a cero. Solo converge en cero.
Factoriales abajo
El cociente es |z|/(n+1)→0 para todo z fijo.Radios
La primera tiene R=0 y la segunda R=∞.
Escribir una serie de potencias no garantiza un radio positivo ni finito.
En cero ambas sumas valen uno por el término inicial.
2. Cauchy–Hadamard usa el crecimiento exponencial de los coeficientes
La raíz de un término tiene límite superior L|z−a|: menor que uno garantiza convergencia y mayor que uno impide que los términos tiendan a cero.
El límite superior no exige que exista el límite ordinario. Si los coeficientes son no nulos desde cierto índice y existe el límite de |aₙ/aₙ₊₁|, este ofrece otra forma de calcular R. Ceros intercalados o cocientes oscilantes obligan a revisar esa vía.
Un crecimiento regular
aₙ=5ⁿ, centro a=0.
Raíces
|aₙ|^(1/n)=5.Radio
L=5 y R=1/5.Comprobar
La serie es geométrica de razón 5z, pequeña exactamente dentro de ese radio.
R=1/5.
Se invierte el crecimiento del coeficiente: un coeficiente que crece más rápido reduce el radio.
El límite ordinario puede no existir
aₙ=1 si n es par y aₙ=0 si n es impar.
Raíces
Para n≥1, alternan entre uno y cero.Límite superior
L=1, aunque no existe un límite ordinario.Serie
Es 1+z²+z⁴+…=1/(1−z²) para |z|<1.
El radio es 1 y no se usan cocientes que dividen entre cero.
Los ceros de coeficientes no hacen que el radio sea infinito; hay que mirar la sucesión completa.
3. En la circunferencia frontera se estudia cada comportamiento por separado
Cuando |z−a|=R, el criterio de raíz llega al valor uno y deja la cuestión abierta. Puede haber divergencia, convergencia condicional o absoluta. Radio no es una orden de incluir o excluir toda la circunferencia.
En una geométrica con |z|=1, los términos zⁿ tienen módulo uno y no tienden a cero; diverge en toda su frontera. Añadir factores como 1/n o 1/n² cambia el comportamiento fronterizo sin cambiar el radio.
Dos puntos de una misma frontera con respuestas distintas
Σ desde n=1 de zⁿ/n tiene radio uno.
En z=1
Es la serie armónica y diverge.
En z=−1
Es Σ(−1)ⁿ/n, convergente por el criterio alternado.
Absoluta
En z=−1 los módulos vuelven a formar la armónica; la convergencia es condicional.
El radio por sí solo no decide estos dos extremos.
La convergencia alternada se justifica porque 1/n decrece a cero; no basta con ver signos alternos.
Convergencia absoluta en toda la frontera
Σ desde n=1 de zⁿ/n².
Radio
n^(−2/n)→1, así que R=1.En |z|=1
|zⁿ/n²|=1/n².Comparar
La p-serie de exponente dos converge.
Todos los puntos de |z|=1 tienen convergencia absoluta.
Esto no contradice R=1: el radio deja la frontera sin decidir, no prohíbe converger en ella.
4. En discos compactos interiores podemos derivar e integrar término a término
La serie numérica Σ|aₙ|sⁿ converge y domina los términos en |z−a|≤ρ. Weierstrass da convergencia uniforme allí. Para derivadas aparece un factor n, pero n(ρ/s)^(n−1) permanece acotado; el mismo mecanismo controla la serie derivada.
Por eso la suma es holomorfa dentro del radio, su derivada tiene el mismo radio y se puede integrar en caminos compactos interiores término a término. La conclusión es local sobre compactos; no se extiende automáticamente a la circunferencia frontera.
Derivar una geométrica
Σ desde n=0 de zⁿ=1/(1−z), |z|<1.
Derivadas de términos
El término cero desaparece y queda Σ desde n=1 de nzⁿ⁻¹.Derivada de la suma
[1/(1−z)]′=1/(1−z)².Región
La identidad derivada vale para |z|<1 y es uniforme en cada disco |z|≤ρ<1.
Σ desde n=1 de nzⁿ⁻¹=1/(1−z)² dentro del disco unidad.
En z=1 la serie derivada diverge; la operación interior no había afirmado nada allí.
Integrar hacia una rama de logaritmo
Integra la misma geométrica desde cero hasta z con |z|<1.
Términos
∫ de wⁿ desde cero hasta z es z^(n+1)/(n+1).
Primitiva
Una primitiva de 1/(1−w) es −Log(1−w), con valor cero en w=0.
Rama
Si |w|<1, Re(1−w)>0: podemos usar la rama de logaritmo del semiplano derecho.
Σ desde n=0 de z^(n+1)/(n+1)=−Log(1−z).
El camino se mantiene en el disco y la rama está declarada; no se utiliza un logaritmo global multivaluado como función única.
5. Para Taylor los coeficientes quedan fijados por las derivadas en el centro
No podemos cambiar esos coeficientes manteniendo la misma función en un entorno. La unicidad se comprueba derivando en el centro.
Las identidades algebraicas ayudan a encontrar la expansión, pero primero simplificamos singularidades removibles y declaramos la extensión cuando haga falta. Para funciones racionales, la distancia a la singularidad no removible más cercana determina el radio de la Taylor de esa extensión.
Una singularidad genuina limita el radio
Desarrolla 1/z alrededor de a=1.
Cambiar variable
z=1+(z−1), así que 1/z=1/[1+(z−1)].Geométrica
Σ desde n=0 de (−1)ⁿ(z−1)ⁿ.Región
|z−1|<1; el origen es una singularidad genuina a distancia uno del centro.
La Taylor tiene radio 1.
El centro es uno; la singularidad que limita el disco está en cero, no en el centro.
Una cancelación no debe crear una barrera falsa
Extiende (z−2)/[(z−2)(z+2)] en z=2 y desarrolla alrededor de a=1.
Cancelar y extender
Fuera de dos equivale a 1/(z+2), y damos valor 1/4 en dos.
Geométrica
1/[3+(z−1)]=Σ desde n=0 de (−1)ⁿ(z−1)ⁿ/3^(n+1).Radio
La singularidad no removible está en −2, a distancia tres de uno; R=3.
El punto removible dos no limita la Taylor de la extensión.
Sin declarar la extensión, la fórmula original tenía un agujero en dos; la serie representa su prolongación holomorfa.
6. Laurent permite potencias negativas y por eso vive en un anillo
Si f es holomorfa en r<|z−a|<R, su Laurent se escribe Σ desde k=0 de cₖ(z−a)ᵏ más Σ desde m=1 de c₋ₘ(z−a)⁻ᵐ. Son dos series que deben converger; no es una suma bilateral reordenada sin condiciones.
En el anillo ambas convergen absolutamente y uniformemente en subanillos compactos. Las potencias negativas pueden exigir estar lejos del centro; las positivas, no alejarse demasiado. El centro no tiene por qué pertenecer al dominio.
Dos restricciones que se intersectan
Suma Σ desde n=0 de (z/3)ⁿ y Σ desde m=1 de z⁻ᵐ.
Primera serie
Converge cuando |z|<3, con suma 3/(3−z).Segunda
Converge cuando |z|>1, con suma 1/(z−1).Ambas
La región común es 1<|z|<3.
La Laurent representa 3/(3−z)+1/(z−1) en ese anillo.
No unimos las dos regiones: necesitamos que las dos series converjan en el mismo punto.
Una parte principal finita y una parte regular infinita
f(z)=eᶻ/z², z≠0.
Taylor del numerador
eᶻ=1+z+z²/2+z³/6+….Dividir
f=z⁻²+z⁻¹+1/2+z/6+….Región
La Taylor de la exponencial vale en todo el plano, por tanto esta Laurent vale en 0<|z|<∞.
Solo hay dos términos de potencia negativa.
La serie puede converger en todo el plano perforado sin que la función esté definida en el centro.
7. Un círculo del anillo recupera cada coeficiente
Para cualquier entero k y un radio r<ρ<R, cₖ=(1/(2πi))∮ f(z)/(z−a)^(k+1) dz sobre |z−a|=ρ positivo. Multiplicar por ese núcleo deja una sola potencia con integral no nula: (z−a)⁻¹. La convergencia uniforme sobre el círculo permite integrar término a término.
El resultado no depende del radio mientras permanezca en el mismo anillo. Esto prueba unicidad del desarrollo en esa región. c₋₁ es especialmente útil: la integral de f sobre el círculo es 2πi c₋₁. No se identifica automáticamente con una derivada en un centro excluido.
Extraer el coeficiente que ve una vuelta
f(z)=2z⁻³+5z⁻¹−1+3z².
Leer
c₋₁=5, aunque el término más singular sea 2z⁻³.Integrar
Sobre cualquier círculo positivo centrado en cero, ∮f dz=2πi·5.
Otros términos
Las potencias −3, cero y dos tienen integral circular cero.
La integral vale 10πi.
El exponente más negativo describe otro dato; no es el que selecciona la integral sin núcleo adicional.
El núcleo puede seleccionar una potencia positiva
Usa la misma f y calcula ∮f(z)/z³ dz.
Orden
Para c₂, el núcleo es z⁻³.
Producto
El término 3z² se convierte en 3/z; ningún otro término produce exponente −1.
Integral
El resultado es 2πi·3=6πi.
La fórmula recupera c₂=3.
Aunque f tenga singularidad en cero, la fórmula de Laurent se usa sobre un círculo dentro de su anillo, no como Taylor en el centro.
8. La misma función tiene series diferentes cuando cambia el anillo
Sus singularidades están a distancias uno y tres.
En cada región elegimos si la razón pequeña es z/b o b/z.
La unicidad vale dentro de una región fija. Dos desarrollos en anillos distintos pueden tener coeficientes diferentes sin contradicción. Antes de expandir escribimos la región solicitada; después comprobamos el módulo de cada razón geométrica.
El disco interior a ambos obstáculos
Desarrolla h para |z|<1.
Primer factor
1/(z−1)=−Σ desde n=0 de zⁿ.Segundo
1/(z−3)=−(1/3)Σ desde n=0 de (z/3)ⁿ.Combinar
h=(1/2)Σzⁿ−(1/6)Σ(z/3)ⁿ.
Es una Taylor para |z|<1, con término constante 1/3.
La restricción |z|<1 garantiza a la vez |z|<3; h(0)=1/3 confirma el término inicial.
El anillo entre los obstáculos
Desarrolla h para 1<|z|<3.
Exterior al primero
1/(z−1)=Σ desde n=0 de z⁻ⁿ⁻¹.Interior al segundo
1/(z−3)=−(1/3)Σ desde n=0 de (z/3)ⁿ.Combinar
h=−(1/2)Σz⁻ⁿ⁻¹−(1/6)Σ(z/3)ⁿ.
Conviven potencias positivas y negativas en 1<|z|<3.
No elegimos la Taylor del primer término: su razón z tendría módulo mayor que uno aquí.
La región exterior a ambos
Desarrolla h para |z|>3.
Dos razones inversas
1/(z−1)=Σz⁻ⁿ⁻¹ y 1/(z−3)=Σ3ⁿz⁻ⁿ⁻¹, n≥0.Combinar
h=Σ desde n=0 de [(3ⁿ−1)/2]z⁻ⁿ⁻¹.Primeros términos
El coeficiente de z⁻¹ es cero; empieza z⁻²+4z⁻³+13z⁻⁴+… .
Esta Laurent exterior empieza con 1/z².
Para |z| grande, el cociente original también se comporta como 1/z²; es una comprobación independiente del signo y el término inicial.
9. La parte negativa clasifica el centro solo si el anillo llega hasta él
Para clasificar una singularidad aislada en a necesitamos Laurent en 0<|z−a|<R, con radio interior cero. Sin potencias negativas es removible; con finitas negativas no nulas es un polo; con infinitas negativas no nulas es esencial.
Si el radio interior es positivo, la expansión no ve puntos arbitrariamente próximos al centro y no permite esa clasificación allí. La posición del anillo forma parte de la interpretación, no solo de la condición de convergencia.
Una singularidad que desaparece al completar un valor
f(z)=sin z/z, z≠0, alrededor de cero.
Expandir
sin z/z=1−z²/6+z⁴/120−….Parte principal
No hay potencias negativas.
Extender
Dar f(0)=1 prolonga la función holomórficamente.
El punto es removible.
Que la fórmula original tuviera denominador cero no decide la clasificación después de la cancelación por series.
Comparar una parte negativa finita con una infinita
Usa 1/z² y e^(1/z) en el plano perforado.
Polo
1/z² tiene un único término negativo y un polo de orden dos.
Esencial
e^(1/z)=Σ desde n=0 de z⁻ⁿ/n! tiene infinitos coeficientes negativos no nulos.
Regiones
Ambas expansiones valen en 0<|z|<∞ y sí se acercan al centro.
La segunda tiene singularidad esencial en cero.
El número de términos negativos, no la existencia de una sola potencia negativa, separa polo de esencial.
Una cola negativa exterior no demuestra singularidad esencial
1/(z−3)=Σ desde n=0 de 3ⁿz⁻ⁿ⁻¹ para |z|>3.
Región
La serie exterior no incluye ningún punto cerca de cero.
Función original
1/(z−3) sí es holomorfa en cero y allí vale −1/3.
Interpretación
La cola negativa describe el exterior, no una singularidad del centro.
No se clasifica cero como esencial con esa expansión exterior.
La condición radio interior cero era necesaria para interpretar la parte principal como clasificación local.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una geométrica
Desarrolla 1/(1−z) alrededor de cero.
Patrón
1/(1−z) tiene la forma de una suma geométrica con razón z.
Suma finita
1+z+…+zᴺ=(1−z^(N+1))/(1−z), si z≠1.Resto
La diferencia respecto de la función es z^(N+1)/(1−z).
Límite
Para |z|<1 ese resto tiende a cero.Coeficientes
Todos los coeficientes son uno y Cauchy–Hadamard da radio uno.
Región
En |z|≤ρ<1 el resto es ≤ρ^(N+1)/(1−ρ); en |z|=1 los términos no tienden a cero, así que diverge en toda la frontera.
Σₙ₌₀∞zⁿ, radio 1.
La función tiene una singularidad en z=1. En |z|=1 los términos zⁿ no tienden a cero, así que esta geométrica diverge en toda su frontera.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un anillo exterior
Desarrolla 1/(z−1) para |z|>1.
Región
|z|>1 implica z≠0 y |1/z|<1.Factorizar
1/(z−1)=(1/z)/(1−1/z).Geométrica
1/(1−1/z)=Σ desde n=0 de z⁻ⁿ.Multiplicar
Queda Σ desde n=0 de z⁻ⁿ⁻¹.Leer
Los términos son z⁻¹+z⁻²+z⁻³+… .
Comprobar
El anillo es 1<|z|<∞; el resto tras n=N es z⁻ᴺ⁻²/(1−1/z) y tiende a cero.Esta expansión exterior no clasifica el centro.
Σₙ₌₀∞z^(−n−1).
Para |z| grande domina 1/z, coherente con el cociente original. Esta expansión exterior no clasifica el comportamiento de la función en cero.
Los símbolos que hemos usado
- a
- Centro del desarrollo.
- Σaₙ(z−a)ⁿ
- Serie de potencias con índices enteros no negativos.
- R
- Radio de convergencia, entre cero e infinito.
- limsup
- Límite superior: límite de los supremos de las colas.
- r<|z−a|<R
- Anillo abierto de validez de una serie de Laurent.
- c_k
- Coeficiente de la potencia entera k en Laurent, positiva o negativa.
- Parte principal
- Suma de los términos de exponente negativo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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